电子教案_11_13章doc-成都纺织高等专科学校

成都纺织高等专科学校教案36授课对象：授课日期年月日星期第节课题随机事件及其概率授课方式讲授、练习教学目的理解随机试验、随机事件及样本空间的概念；掌握随机事件的关系与运算；了解概率的统计定义；掌握概率的基本性质,会用古典概型和概率的加法公式计算概率.重点会用古典概型和概率的加法公式计算概率.难点会用古典概型和概率的加法公式计算概率.教具授课设计概率论研究和揭示随机现象的规律性,是近代数学的一个重要分支.时至今日,随着科学技术的迅速发展,它在国民经济、工农业生产、自动控制、生物学和医学、财经管理和社会生活等诸多领域都有着广泛的应用.§11.1随机事件及其概率11.1.1随机事件人们在社会实践中会遇到两类现象.一类是确定性现象或必然现象,例如正负电荷一定互相吸引；三角形两边之和必然大于第三边；标准大气压下,100℃的水必然沸腾等等.这类现象有着共同的特点:其结果是确定的,是事先可以预知的.另一类是随机现象或偶然现象,例如抛一枚硬币,可能出现正面向上或反面向上两种结果之一；含5件次品的产品中抽取3件,取到的次品数为0,1,2,3都有可能；乘客到公共汽车站候车,候车的人数和候车时间都无法事先预测.这类现象与必然现象是相对的,即结果具有不确定性,事先不能断言会出现哪种结果.表面上随机现象的结果具有偶然性和不确定性.对于少数的试验而言,其结果确实无法预料.但是在相同条件下进行大量的重复试验就会发现,随机现象呈现出某种规律性.例如,当抛硬币一次时,出现正面或出现反面是不确定的.但是随着硬币抛掷次数的增多,正面向上和反面向上次数的比值会越来越接近于1:1；某地在每年冬至那一天,气温都不尽相同,但是从长期来看气温总是稳定在平均气温附近.这些在大量重复试验中呈现出的固有的规律性称为统计规律性.概率论和数理统计就是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.对随机现象进行一次观察或进行一次实验的过程称为随机试验,简称试验．随机试验有三个特征：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)每次试验的所有可能结果是已知的,(3)每次试验之前不能确定具体出现哪个结果.随机试验的每一个可能发生的结果称为随机事件,简称事件.通常用大写字母A,B,C,…表示．不能再分解的随机事件称为基本事件．如掷一枚骰子,“出现奇数点”、“出现偶数点”是随机事件,“出现1点”、“出现4点”是基本事件.全体基本事件的集合称为这个试验的样本空间,记作．样本空间中的元素称为样本点.例1抛硬币两次,观察正、反面的情况.1{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)},1是非数量集,因为样本点的个数是有限的,所以也是有限集.例2射手射击,记录命中目标所用的射击次数.21,2,3,,2是数量集,样本点的个数无限,由于可以依次排成一列,所以是无限集中样本点个数为可列个的情况.例3长为l的杆截为两段,记录较长一段的长度.3{}2lxxl,3是数量集,也是无限集,但此时和例2的情况并不同,样本点的取值不能“依次排成一列”.随机试验中,由于每次试验的结果都是的一个样本点,所以必然发生,称为必然事件.在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件,常用表示．例如抛骰子的试验中,{出现大于6的点}是不可能事件．必然事件和不可能事件都是确定性的,它们不是随机事件,但为了便于讨论,往往把它们作为随机事件的极端情况处理.自测1指出下列事件中哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？(1)A{标准大气压下,在25℃的室温时,纯水会结冰}；(2)B{如果a,b都是实数,那么a+b=b+a}；(3)C{从分别标有号数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张,得到6号签}；(4)D{某电话总机在一分钟内接到至少15次呼唤}．11.1.2事件的关系和运算与集合的关系和运算相对应,下面先介绍事件之间的关系和运算．引例1抛掷一颗骰子,观察出现的点数.A{出现的点数为奇数},B{出现的点数为偶数},C{出现的点数为2}.那么事件,,ABC之间有何种关系呢?定义11.1.1若事件A的发生必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A．记作AB．如图11-1所示.图11-1图11-2特别地,若AB且BA,则称事件A与事件B相等,记作AB．定义11.1.2事件A与事件B同时发生,这一事件称为事件A与B的积(交),记为AB或AB．如图11-2所示.图11-3图11-4对任意事件A,有AAA,AA,A．定义11.1.3两事件A与事件B中至少有一件发生,这一事件称为事件A与B的和(并),记为AB或AB．如图11-3所示.对任意事件A,有AAA,A,AA．定义11.1.4事件A发生而事件B不发生,这一事件称为事件A与B的差,并记作AB,如图11-4所示.定义11.1.5若事件A与事件B不能同时发生,即AB,则称事件A与B为互斥事件（或不相容事件）,如图11-5所示.图11-5图11-6基本事件间是互斥的,不可能事件与任何事件是互斥的．定义11.1.6若事件A与B满足AB且AB,则称事件A与B是互逆事件（或对立事件）,记作BA.如图11-6所示.显然,互逆事件一定是互斥事件,但反之不真.由互逆事件的定义,对任意事件A和B,不难证明以下结论成立:(1)ABAABAB；(2)AA,,；(3)对偶律:ABAB,ABAB.例4求引例1中事件的关系.解由事件关系的定义知,CB,A与C互斥,A与B互逆,BC{出现的点数为4或6}.例5从一批包含正品和次品的产品中,一件一件地依次任意取出三件,若记1A{第一个零件是正品},2A{第二个零件是正品},3A{第三个零件是正品}.试表示(1)没有一个零件是次品；(2)只有第一个零件是次品；(3)恰有一个零件是次品；(4)至少有一个零件是次品.解(1){没有一个零件是次品}表示成1A2A3A；(2){只有第一个零件是次品}表示成1A2A3A；(3){恰有一个零件是次品}表示成1A2A3A1A2A3A1A2A3A；(4){至少有一个零件是次品}表示成1A2A3A或123AAA．自测2对飞机进行两次射击,A{第一弹击中飞机},B{第二弹击中飞机}.用A和B的运算关系来表示下列事件：(1)两弹都击中飞机；(2)两弹都没击中飞机；(3)至少有一弹击中飞机；(4)恰有一弹击中飞机.并找出以上事件中的互斥事件和互逆事件.11.1.3随机事件的概率引例2掷一枚均匀的硬币,可能出现的结果有“正面向上”,“反面向上”,且由于硬币质地均匀,可以认为每种情况的出现机会都为12．引例3有1000张彩券,其中有2张一等奖券,现有1000人各取一张,问每人得到一等奖的机会有多大？可以通过分析判断或猜测得出结果为2‰.用来表示事件A发生可能性大小的数值称为事件A的概率,记作()PA.对于确定的事件,概率值是客观存在的.但如何才能获得()PA的数值呢?人们常利用事件发生的次数与试验次数的比值来获知概率值的大小,这样的值称为频率.尽管事件的频率随试验的不同会有所改变,但当试验的次数逐渐增加时,频率总是逐渐稳定于一个确定的常数,这个常数就是概率.频率的稳定性不断被人们的实践和理论给予证明.下面介绍概率的古典定义.上两例中“投掷硬币”、“抓彩券”试验有两个特征：(1)基本事件总数有限；(2)每个基本事件发生的可能性相等．满足这两个特征的试验模型称为古典概型．定义11.1.7在古典概型中,若基本事件总数为n,事件A包含的基本事件数为m,则事件A的概率为(A)mPn.概率的这种定义称为概率的古典定义.由该定义可知,概率有如下性质：性质1(非负性)对于任何事件A,有0()1PA；性质2(规范性)()1P,()0P．用古典定义求概率时,关键是要求出一切基本事件的总数n和正确求出事件A所包含的基本事件个数m.例6100件产品中有90件合格品,10件次品.从中任取2件,求恰有1件次品的概率.解易知该试验模型是古典概型.从100件产品中任取2件的方式有n=2100C种.设A={恰有1件次品},则事件A包含的基本事件数m=119010CC种.由古典概率公式得()PAmn1190102100CCC211．例7已知有n个人,每个人都以1N的同样概率被分配到N（nN）间房中的任一间,试求某指定的一间房中恰有m个人的概率．解设事件A={某指定的一间房中恰有m个人},这m个人可从n个人中任意选出,共有mnC种选法,其余nm个人可任意分配到其余的1N间房中去,共有(1)nmN种分法,由古典概率公式得()PA(1)mnmnnCNN111mnmmnCNN．自测3已知见例7.如果恰有n间房,试求n间房中各有1人的概率.11.1.4概率的加法公式引例4某班有80%的学生参加了数学竞赛,70%的学生参加了外语竞赛,60%的学生既参加了数学竞赛又参加了外语竞赛,问该班参加数学竞赛或外语竞赛的学生占百分之多少?分析设A{参加数学竞赛的学生},B{参加外语竞赛的学生},则AB{既参加数学竞赛又参加外语竞赛的学生},AB{参加数学竞赛或外语竞赛的学生}.我们用图11-7所示,来解释以上事件概率之间的关系.图中阴影部分的面积表示()PAB,于是()PAB()()()PAPBPAB0.80.70.60.990%．图11-7即该班参加数学竞赛或外语竞赛的学生占90%．定理11.1.1(概率的加法公式)一般地,对任意两个事件A与B,有()PAB()()()PAPBPAB．推论11.1.1若事件A与B互斥,则()PAB()()PAPB.一般地,若事件12,,,nAAA彼此互斥,则1212()()()()nnPAAAPAPAPA．推论11.1.2若A是A的逆事件,则()PA1()PA.例8某小区有80%的住户有洗衣机,70%的住户有空调,60%的住户既有洗衣机又有空调,若从该小区住户中任选一户,发现该住户没有这两件家用电器的概率是多少？解设A{有洗衣机的住户},B{有空调的住户},则AB{既有洗衣机又有空调的住户},AB{至少有一种家用电器的住户},AB{没有这两件家用电器的住户}.()PAB()()()0.80.70.60.9PAPBPAB,于是,()1()10.90.1PABPAB.例9在20件产品中,有15件一级品,5件二级品,从中任取3件,其中至少1件为二级品的概率是多少?解设事件A{至少1件为二级品},事件iA{恰有i件二级品}(1,2,3)i,其中1,A2,A3A彼此互斥.由推论11.1.1可得()PA123()PAAA123()()()PAPAPA12515320CCC21515320CCC35320CC105228302282228137228.自测4从1—100这一百个自然数中任意取出一个,求这个数是2或3的倍数的概率．作业:习题11.11.写出下列随机试验的样本空间：（1）10只产品中有3只是次品,每次从其中取一只（取后不放回）,直到3只次品都取出,记录抽取的次数；（2）生产产品直到10件正品,记录生产产品的总件数；（3）甲、乙二人下棋一局,观察棋赛的结果；（4）测量一汽车通过给定点的速度．2.一批产品有正品也有次品,从中抽取3件,A={抽出的第一件是正品},B={抽出的第二件是正品},C={抽出的第三件是正品},试用A,B,C表示下列事件：（1）{只有第1件是正品}；（2）{第1、2件是正品,第3件是次品}；（3）{3件都是正品}；（4）{至少有1件为正品}；（5）{至少有2件为正品}}；（6）{恰有1件为正品}；（7）{恰有2件为正品}．3．随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班,每人值班1天.（1）这3人