初中数学竞赛讲座--- 有条件的分式的化简与求值

第五讲有条件的分式的化简与求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系；3．拆项变形或拆分变形；4．整体代入；5．利用比例性质等．例题求解【例1】若addccbba，则dcbadcba的值是．(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨引入参数，利用参数寻找a、b、c、d的关系．注：解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用有下列途径：(1)直接运用条件；(2)变形运用条件；(3)综合运用条件；(4)挖掘隐含条件．在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能．【例2】如果11ba，12cb，那么ac2等于()A．1B．2C．3D．4(全国初中数学联赛武汉选拔赛)思路点拨把c、a用b的代效式表示．【例3】已知1xyz，2zyx，16222zyx，求代数式yzxxyzzxy212121的值．(北京市竞赛题)思路点拨直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2－x－y，x=2－y－z，z＝2－x－y，从变形分母入手．【例4】不等于0的三个数a、b、c满足cbacba1111，求证a、b、c中至少有两个互为相反数．(天津市竞赛题)思路点拨要证a、b、c中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(c+a)＝0，使证明的目标更加明确．【例5】(1)已知实数a满足a2－a－1=0，求487aa的值．河北省竞赛题)(2)汜知1325))()(())()((accbbaaccbba，求acccbbbaa的值．(“北京数学科普日”攻擂赛试题)思路点拨(1)由条件得a2=a+1，11aa，通过不断平方，把原式用较低的多项式表示是解题的关键．(2)已知条件是baba、cbcb、acac三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出baba+cbcb+acac的值是解本例的关键．学历训练1．已知032xx，那么1332xxx=．(淄博市中考题)2．已知712xxx，则1242xxx=．3．若a、b、c满足a+b+c=0，abc0，且ccbbaax，y=)11()11()11(bacacbcba，则xyyx32=．(“祖冲之杯”邀请赛试题)4．已知43322accbba，则bacba98765=．(“五羊杯”竞赛题)5．已知a、b、c、d都是正数，且dcba，给出下列4个不等式：①dccbaa；②dccbaa；③dcdbab；④dcdbab，其中正确的是()A．①③B．①④C．②④D．②③(山东省竞赛题)6．设a、b、c是三个互不相同的正数，如果abbacbca，那么()A．3b=2cB．3a=2bC．2b=cD．2a=b(“祖冲之杯”邀请赛试题)7．若4x—3y一6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则代数式222222103225zyxzyx的值等于()．A．21219C．－15D．－13(全国初中数学竞赛题)8．设轮船在静水中速度为v，该船在流水(速度为uv)中从上游A驶往下游B，再返回A，所用时间为T，假设u=0，即河流改为静水，该船从A至B再返回B，所用时间为t，则()A．T=tB．TtC．TtD．不能确定T、t的大小关系9．(1)化简，求值：24)44122(22aaaaaaaa，其中a满足0122aa；(山西省中考题)(2)设0cba，求abccacbbbcaa222222222的值．10．已知xzzyyx111，其中x、y、z互不相等，求证：x2y2z2=1．11．若0abc，且bacacbcba，则abcaccbba))()((=．12．已知a、b、c满足1222cba，3)11()11()11(baccabcba，那么a+b+c的值为．13．已知1yxxy，2zyyz，3xzzx，则x的值为．14．已知x、y、z满足41yx，11zy，371xz，则xyz的值为．(全国初中数学竞赛题)15．设a、b、c满足abc≠0，且cba，则abcbacabacbcacb222222222222的值为A．－1B．1C．2D．3(2003年南通市中考题)16．已知abc=1，a+b+c=2，3222cba，则111111bcaabccab的值为()A．－1B．21C．2D．32(大原市竞赛题)17．已知—列数1a、2a、3a、4a、5a、6a、7a，且1a=8，7a=5832，766554433221aaaaaaaaaaaa，则5a为（）A．648B．832C．1168D．194418．已知0199152xx，则代数式)2)(1(1)1()2(24xxxx的值为()A．1996B．1997C．1998D．199919．（1）已知acb2，求)111(333333222cbacbacba的值；(2)已知x、y、z满足1yxzxzyzyx，求代数式yxzxzyzyx222的值．(北京市竞赛题)20．设a、b、c满足cbacba1111，求证：当n为奇数时，nnnnnncbacba1111(波兰竞赛题)21．已知012aa，且1129322322324axaaxaa，求x的值．(上海市高中理科班招生试题)22．某企业有9个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A，B两组检验员，其中A组有8名检验员，他们先用2天将第一、第二两个车间的所有成品(指原有的和后来生产的)检验完毕后，再检验第三、四两个车间的所有成品，又用去了3天时间，同时，用这5天时间，B组检验员也检验完余下的5个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．(1)试用a、b表示B组检验员检验的成品总数；(2)求B组检验员的人数．(天津市中考题)