初中数学竞赛讲座----代数证明

代数证明代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系．在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明．恒等式的证明常用的方法有：(1)由繁到简，从一边推向另一边；(2)从左右两边人手，相向推进；(3)作差或作商证明，即证明：左边一右边=0，)0(1右边右边左边．条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通．代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用．例题求解【例1】(1)求证：aazayaxaazzaayyaaxx3111222（2）求证：)1)(1)(1(4)1()1()1(222ababbbaaababbbaa．思路点拨(1)从较复杂的等式左边推向等式右边，注意左边每个分式分子与分母的联系；(2)等式两边都较复杂，对左、右两边都作变形或作差比较．注如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值，使得等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式．把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形，形变值不变是恒等变形的特点．代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形，分解、换元、引参、配方、分组、拆分，取倒数等是恒等变形常用的技巧与方法．【例2】已知bayx，且2222bayx．求证：2001200120012001bayx．(黄冈市竞赛题)思路点拨从完全平方公式入手，推出x、y与a、b间关系，寻找证题的突破口．【例3】有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用ia和ib，分别表示第i(I=1，2，3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数．求证：21822212182221bbbaaa．(天津市竞赛题)思路点拨作差比较，明确比赛规则下隐含的条件是证题的关键．【例4】已知333czbyax，且1111zyx．求证：3333222cbaczbyax．思路点拨条件中有一个连等式，恰当引入参数，把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式．【例5】已知0abc，证明：四个数abccba3)(、abcacb3)(、abcbac3)(、abccba3)(中至少有一个不小于6．(北京市竞赛题)思路点拨整体考虑，只需证明它们的和大于等于24即可．注证明条件等式的关键是恰当地使用条件，常见的方法有：(1)将已知条件直接代入求证式；(2)变换已知条件，再代入求证式；(3)综合变形巳知条件，凑出求证式；(4)根据求证式的需求，变换已知条件，凑出结果等．不等关系证明类似于等式的证明，在证明过程中常用如下知识：(1)若A—B0，则AB；(2)若A—B0，则AB；(3)abba222；(4)21xx（x0）；(5)若Maaa21，则naaa、、、21中至少有一个大于nM．学力训练1．已知babaP，cbcbq，r=acac，求证：)1)(1)(1()1)(1)(1(rqprqp．2．已知1czbyax，0zcybxa．求证：1222222czbyax．3．已知：)(3)(2acaccbcbbaba，求证：0598cba．4．设43239的小数部分为b，求证：bb1243239．5．设x、y、z为有理数，且(y—z)2+(x－y)2+(z—x)2=(y+z－2x)2+(z+x－2y)2+(x+y—2z)2，求证：1)1)(1)(1()1)(1)(1(222zyxxyzxyz．(重庆市竞赛题)6．已知2222)32()(14cbacba，求证：a：b：c=1：2：3．7．已知11111zyxzyx，求证：x、y、z中至少有一个为1．8．若zyxtyxtzxtzytzyx，记zyxtyxtzxtzytzyxA，证明：A是一个整数．(匈牙利竞赛题)9．已知0bacacbcba，求证：0)()()(222bacacbcba．10．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x倍，求证：12pqqpx．(天津市竞赛题)11．设a、b、c均为正数，且1cba，证明：9111cba．12．如果正数a、b、c满足bca2，求证：accbba211．(北京市竞赛题)13．设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题：①若02caba，且c1，则0b2；②若c1且0b2，则02caba；③若0b2，且02caba0，则c1．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定．(武汉市选拔赛试题)