初中数学竞赛讲座---平行截割

第十九讲平行截割平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传递角，可“送”线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论．利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E”、“A”型或“X”型的基本图形：例题求解【例1】如图，已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC=．(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)思路点拨图中有形如“X”型的基本图形，建立含AP，PQ，QC的比例式，并把AP，PQ，QC用同一条线段的代数式表示．【例2】如图，已知在△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则FDAFFCEF的值为()A．21B．1C．23D．2(江苏省泰州市中考题)思路点拨已知条件没有平行线，需恰当作平行线，构造基本图形，产生含FCEF，FDAF的比例线段，并设法沟通已知比例式与未知比例式的联系．【例3】如图，BD、BA，分别是∠ADC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D为垂足．(1)求证：四边形AEBD为矩形；(2)若ADAE=3，F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于点H，且3AGAF，求证：△AHG是等腰三角形．(厦门市中考题)思路点拨对于(2)，由比例线段导出平行线，证明∠HAG=∠AHG．【例4】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．(1)如果P、E、F分别是BC、AC、BD的中点，求证：AB=PE+PF；(2)如果P是BC上的任意一点(中点除外)，PE∥AB，PF∥DC，那么AB=PE+PF这个结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．(上海市闽行区中考题)思路点拨对于(2)，先假设结论成立，从平行线出发证明AB=PC+PF，即需证明1ABPFABPE，将线段和差问题的证明转化为与比例线段有关问题的证明．注若题设条件无平行线，需作平行线．而作平行线要考虑好过哪一点作平行线，一般是由比的两条线段启发而得的，其目的是构造基本图形．平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，比例线段丰富了我们研究几何问题的方法，主要体现在：(1)利用比例线段求线段的长度；(2)运用比例线段证明线段相等，线段和差倍分关系、两直线平行等问题．【例5】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P，求证：PM×PN=PR×PS(山东省竞赛题)思路点拨由于PM、PN、PR、PS在同一条直线上，所以不能直接应用平行线分线段成比例推得结论，需观察分解图形，利用中间比沟通不同比例式的联系学力训练1．如图，△ABC中有菱形AMPN，如果21MBAM，则BCBP．(南通市中考题)2．如图，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若31FDAF，则BEAE；若nFDAF1，则BEAE．(江苏省镇江市中考题)3．如图，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若3GABG，BC=8，则AE的长为．(苏州市中考题)4．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，BC=lcm，E是CD边上一动点，AE、BC的延长线交于点F，设DE=x(㎝)，BF=y(cm)，用x的代数式表示y得．(黑龙江省中考题)5．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：①FCBFECAE；②BCABBFAD；③BCDEABEF；④BFEACFCE．其中正确比例式的个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q是BD、CE的中点，则BCPQ等于()A．31B．41C．51D．617．如图，已知在平行四边形ABCD中，O1、O2，O3为对角线BD上三点，且BO1=OlQ2=O2O3=O3D，连结AOl并延长交BC于点C，连结EO3延长交AD于点F，则AD：FD等于()A．19：2B．9：1C．8：1D．7：1(河北省中考题)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=3CE，DE交BC于F，则DF：FE等于()A．5：2B．2：lC．3：1D．4：1(江苏省竞赛题)9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=31CD，E是AB上一点，AE=2BE，M是腰BC的中点，连结EM并延长交DC的延长线于点F，连结BD交EF于点N求证：BN：ND=l：10．(河南省中考题)10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD．(1)求证：OE=OF，(2)求BCOEADOE的值；（3）求证：EFBCAD211．11．已知如图1，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD于F，我们可以证明EFCDAB111成立．若将图1中的垂直改为斜交，如图2，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF∥AB，交BD于点F，则：(1)EFCDAB111还成立吗?如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由；(2)请找出S△ABD，S△BED，S△BDC间的关系式，并给出证明．(黄冈市中考题)12．如图，在梯形ABCD中．AB∥CD，AB＝3CD，E是对角线AC的中点，BE延长后交AD于F，那么FDAF=．(“祖冲之杯”邀请赛试题)13．如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，过O任作一直线与CD、BC的延长线分别交于F、E点，设BC=a，CD=b，CE=c，则CF=．(山东赛区选拔赛试题)14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，E、F分别是AD、BC的中点，且AF交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为．15．如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15m，分别自两杆上高出地面4m、6m的A、C处，向两侧地面上的E、D、B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为m．(2000年全国初中数学联赛试题)16．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E，F是BC的三等分点．AE、AF分别交BD于M、N两点，则BM：MN：ND=()A．3：2；1B．4：2：lC．5：2：1D．5：3：2(2004年武汉市选拔赛试题)17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为()A．745B．533C．539D．215(山东省竞赛题)18．如图，平行四边形ABCD中，F、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，试判断下列结论：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG=21BG；④S△ABE=3S△AGE，其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个19．如图，已知△ABC，32DCBD，43ECAE，AD、BE交于F，则FEBFFDAF的值()A．37B．914C．1235D．135620．如图，已知AB∥EF∥CD，AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF．(山东省竞赛题)21．如图，已知在平行四边形ABCD中，F为AB边的中点，AF=21FD，FE与AC相交于G，求证：AG=51AC．22．如图，已知M、N为△ABC的边BC上的两点，且满足BM=MN=NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F，求证：EF=3DE．(湖北省黄冈市竞赛题)23．在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O．某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：(1)当11121ACAE时，有12232ADAO(如图甲)；（2）当21131ACAE时，有22242ADAO(如图乙)；(3)当31141ACAE时，有32252ADAO(如图丙)；在图丁中，当nACAE11时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示ADAO的一般结论，并给出证明(其中n是正整数)(山西省中考题)24．如图，在平行四边形ABCD中，P1，P2，…，Pn是BD的n等分点，连结AP2并延长交BC于点E，连结APn-2并延长交CD于点F．(1)求证：EF∥BD；(2)设平行四边形ABCD的面积是S，若S△AEF=83S，求n的值．(山东省竞赛题)