初中数学竞赛专题选讲----配方法

初中数学竞赛专题选讲配方法一、内容提要1.配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式（a±b）2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a2+b2配上2ab，②由2ab配上a2+b2，③由a2±2ab配上b2.2.运用配方法解题，初中阶段主要有：①用完全平方式来因式分解例如：把x4+4因式分解.原式＝x4+4＋4x2－4x2=(x2+2)2－4x2＝……这是由a2+b2配上2ab.②二次根式化简常用公式：aa2，这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简625.我们把5－26写成2－232＋3＝2)2(－232＋2)3(＝（2－3）2.这是由2ab配上a2+b2.③求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a2≥0，∴当a=0时，a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a－2的最值.∵a2+2a－2=a2+2a+1－3=(a+1)2－3当a=－1时,a2+2a－2有最小值－3.这是由a2±2ab配上b2④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如:：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x,y.解：方程x2+y2+2x-4y+1＋4＝0.配方的可化为（x+1）2+(y－2)2=0.要使等式成立，必须且只需0201yx.解得21yx此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题例1.因式分解：a2b2－a2+4ab－b2+1.解：a2b2－a2+4ab－b2+1＝a2b2+2ab+1+(－a2+2ab－b2)（折项，分组）＝（ab+1）2－(a－b)2（配方）＝（ab+1+a-b）(ab+1-a+b)（用平方差公式分解）本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想.例2.化简下列二次根式：①347；②32；③223410.解：化简的关键是把被开方数配方①347＝33224＝2)32(＝32＝2＋3.②32＝2322＝2324＝2)13(2＝2)13(2＝226.③223410＝2)12(410＝）＋（12410＝246＝22224＝2)22(=2－2.例3.求下列代数式的最大或最小值：①x2+5x+1；②－2x2－6x+1.解：①x2+5x+1＝x2+2×2`5x+225－425+1＝（x+25）2－421.∵（x+25）2≥0，其中0是最小值.即当x=25时，x2+5x+1有最小值－421.②－2x2－6x+1＝－2（x2+3x-21）=－2(x2+2×23x+4949－21)＝－2（x+23）2+211∵－2（x+23）2≤0，其中0是最大值，∴当x=－23时，－2x2－6x+1有最大值211.例4.解下列方程：①x4－x2+2xy+y2+1=0；②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.解：①（x4－2x2＋1）＋（x2+2xy+y2）=0.（折项，分组）(x2－1)2+(x+y)2=0.（配方）根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.得0012yxx∴1,1yx或11yx②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2－2y+1=0.(折项，分组)(x+y)2+6（x+y）+9+y2－2y+1=0.(x+y+3)2+(y－1)2＝0.（配方）∴0103yyx∴14yx例5.已知：a,b,c,d都是整数且m=a2+b2,n=c2+d2,则mn也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式.（1986年全国初中数学联赛题）解：mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2++a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+b2d2+2abcd+a2d2+b2c2－2abcd(分组，添项)=(ac+bd)2+(ad-bc)2例6.求方程x2+y2-4x+10y+16=0的整数解解：x2-4x+16+y2+10y+25=25(添项)（x－4）2+(y+5)2＝25（配方）∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.∴9)5(16)4(16)5(9)40)5(25)4(25)5(0)422222222yxyxyxyx或（或或（由5504yx得04yx同理，共有12个解104yx5-9yx51yx……三、练习1.因式分解：①x4+x2y2+y4；②x2-2xy+y2-6x+6y+9；③x4+x2-2ax-a2+1.2.化简下列二次根式：①25204912422xxxx（－23＜x25）；②2234432xxxxx(1x2)；③21217；④53；⑤324411；⑥5353；⑦（14＋65）÷（3＋5）；⑧（x3）2＋1682xx.3求下列代数式的最大或最小值：①2x2+10x+1；②－21x2+x-1.4.已知：a2+b2－4a－2b+5.求：223ba的值.5.已知：a2+b2+c2=111,ab+bc+ca=29.求：a+b+c的值.6.已知：实数a,b,c满足等式a+b+c=0,abc=8.试判断代数式cba111值的正负.（1987年全国初中数学联赛题）7.已知：x=3819.求：1582316262234xxxxxx.（1986年全国初中数学联赛题）练习题参考答案1.②（x－y－3）22.①8，②0.5x，③3－22，④2210，⑤2＋3，⑥10⑦3＋5，⑧7－2x（x≤3）3.①当x=－25时，有最小值－223②x=1时，有最大值－214.a=2,b=1代数式值是3＋225.±136.负数。由（a+b+c）2=0得出ab+ac+bc04.值为5。先化简已知为4－3，代入分母值为2，可知x2－8x+13=0分子可化为（x2+2x+1）(x2－8x+13)+10＝105.配方（a－b）2+(b－c)2=06.①36yx②1,11,1yx③12yx7.①21312111yxyxyxyx②（x-3）2+(y+5)2=9……[文章来源：教师之家转载请保留出处][相关优质课视频请访问：教学视频网]