初中数学竞赛专题选讲---线段角

初中数学竞赛专题选讲线段、角的相等关系一、内容提要证明线段、角的相等，在直线形中，最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形，若没有现成的，则要引辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。构造全等三角形，要充分利用已知条件中的对应相等关系，添引辅助线要有利于增加对应相等的元素，要注意总结辅助线的规律，观察两个三角形全等时的一般位置特点（如翻转、旋转、平移等）一.证明两条线段相等常用的定理1.在同一个三角形中，证明等角对等边。2.在两个三角形中，证明全等。3.在平行线图形中①应用平行四边形的性质②用平行线等分线段定理4.运用比例式证明相等：若ayax则x=y；若xyyx则x=y5.应用等量代换、等式性质二.证明两个角相等常用的定理1.在同一个三角形中，证明等边对等角。2.在两个三角形中，证明全等或相似。3.在平行线图形中①用平行四边形的对角相等②行线的同位角相等，内错角相等③边分别互相平行（或垂直）的两个锐角（或两个钝角）相等④角（或等角）的余角（或补角）相等⑤用等量代换、等式性质二、例题例1.证明等腰梯形的判定定理“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形”已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠B求证：AD＝BC下面提供三种基本证法：1.把BC、AD集中到同一个三角形，证它等腰三角形。辅助线是：过点D作DE∥BC，我们称它为“平移”∵BCDE是平行四边形，可证△DAE为等腰三角形2.以BC、AD为对应边，构造两个全等三角形，为增加对应相等的元素，辅助线为：作两条高CM和DN，根据夹在平行线间的平行线段相等，可用角角边证全等。3.由∠A＝∠B，可造等腰三角形，运用比例式性质证明，辅助线是：分别延长AD和BC交于P。PDCDCDCAEBANMBAB例2.已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于O,AD、BC的延长线相交于P求证：PO平分AB证明：设PO延长线交AB于E，交CD于F∵AB∥CD∴AEDF＝PEPF＝BECF①AECF＝AOCO＝BEDF②①×②得22BEDFCFAECFDF∴AE2＝BE2∵AE＞0，BE＞0∴AE＝BE，即PO平分AB例3.已知：△ABC中，AC＝3AB，AF是∠A的平分线，过点C作CD⊥AF，D是垂足求证：AD被BC平分A证明：以AD为轴作△ADC的对称三角形ADEB那么DE＝DC，AE＝AC＝3AB，BE＝2ABGF取BE的中点G，连结DGEC则DG∥BC，∵AB＝BGD∴AF＝FD，即AD被BC平分例4.已知：在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点求证：PM＝PN（1991年泉州市初二数学双基赛题）证明：取AB中点Q，AC中点R连结PQ，PR，MQ，NRPQ∥AC，PQ＝21AC＝NRPR∥AB，PR＝MQ∠PQM＝∠PRN（两边分别垂直）∴△PQM≌△NRP，PM＝PN例5.已知：四边形ABCD中AD＝BC，E，F分别是AB、CD的中点，延长AD，BC和EF的延长线分别交于G，H求证：∠AGE＝∠BHEABCNMPQRFOABCDPE证明：连结AC，取AC的中点P，连结PE，PF∵PE是△ABC的中位线，∴PE∥BC，PE＝21BC，同理PF∥AD，PF＝21AD∴∠PEF＝∠BHE，∠PFE＝∠AGE∵AD＝BC，∴PE＝PF，∠PEF＝∠PFE∴∠AGE＝∠BHE例6.已知：△ABC中，∠A＝Rt∠，点O是正方形BCDE对角线的交点求证：AO是∠A的平分线证明：过点O作OF⊥OA交AC的延长线于F∵∠ABC，∠FCO都是∠ACO的补角∴∠ABC＝∠FCO∵∠AOB，∠FOC都是∠AOC的余角∴∠AOB＝∠FOC又∵OB＝OC∴△ABO≌△FCO∴AO＝FO，∠F＝∠OAF＝45∴AO是∠A的平分线（△FCO是△ABC绕点旋转90后的位置）又证：∵∠BAC＋∠BOC＝180∴A，B，O，C四点共圆，过ABOC四点作辅助圆，在这个圆中∵弦OB＝弦OC∴弧OB＝弧OC∴圆周角BAO＝∠OAC即AO是∠A的平分线三、练习1.在等边△ABC的边AB，BC，CA上分别截取AD＝BE＝CF，连结AE，BF，CD它们两两相交于P，Q，R，则△PQR也是等边三角形2.已知：如图AB＝AC，AD＝AE求证：AF平分∠BAC3.如图P，Q，R是等边三角形ABC三边的中点，M是BC上的任意点，以PM为一边作等边三角形PMN，则RN＝QMkABEFPCDGHOCBADEFOCBADE4.如图△ABD，△BCE都是等边三角形，ADEF是平行四边形，则△CAF也是等边三角形②③④5.四边形ABCD中，AC＝BD，E，F分别是AD，BC的中点，求证：EF和AC，BD相交所成的两个锐角相等6.锐角三角形ABC中，以AB，AC为边作两个正方形ABDE，ACFG，高AH的延长线交EG于M，求证：①ME＝MG，②AM＝21BC7.△ABC的∠C＝Rt∠，∠A＝30，以AB，AC为边向形外作等边三角形ABD，ACE，求证DE被AB平分8.等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，BE是中线，AD⊥BE交BC于D，交BE于F，求证：∠AEB＝∠DEC9.等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，AD∥BC，且BD＝BC，设BD和AC相交于E，求证CD＝CE10.△ABC中，AD是高，若AB＋DC＝AC＋BD，则AB＝AC11.D，E分别在等边三角形ABC的边BA，BC的延长线上，AD＝BE求证DC＝DE12.正方形ABCD中，E，F分别在BC，CD上且∠EAF＝45，AH是△AEF的高，求证AH＝AB13.梯形ABCD中，AB∥CD，MN∥AB交AD于M，交BC于N交AC于E，交BD于F则ME＝NF14.正方形ABCD中，E，F是AB延长线上的两个点，BE＝BC，BF＝BD，DF交BC于G，交CE于H求证：CH＝CB，HG＝HFlzFNTABCDEABCPQRMBCEFDA练习题参考答案1.先△ABE≌△BCF≌△CAD，2.三次全等，3.证△PQM≌△PRN4.△ABC≌△DBE，∠BAC＋∠DAF＝∠BDE＋∠DEF＝60＋1801.取CD的中点M，连结ME，MF6.△EAM≌△ABH5.作△ABD的高DF，证△BDF≌△BAC6.作斜边上高，找全等三角形7.求出∠DBC＝30，有两种图形8.延长BC到N，使CN＝AB，延长CB到M，使BM＝AC，证△AMD≌△AND，△CAN≌△MBA9.延长BE到F，使EF＝BC10.延长CB到G使BG＝DF13.证明CDNFCDME14.∠CDF＝∠F＝∠BDF＝∠DHC＝22.5