初中数学竞赛专项训练(2)及答案

初中数学竞赛专项训练（2）（代数式、恒等式、恒等变形）一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。1、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（）A.m(1+a%)(1－b%)元B.m·a%(1－b%)元C.m(1+a%)b%元D.m(1+a%b%)元2、如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abcabcccbbaa的所有可能的值为（）A.0B.1或-1C.2或-2D.0或-23、在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B＝60°，则bcabac的值为（）A.21B.22C.1D.24、设a＜b＜0，a2+b2=4ab，则baba的值为（）A.3B.6C.2D.35、已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2+b2+c2－ab－bc－ca的值（）A.0B.1C.2D.36、设a、b、c为实数，226232222aczcbybax，，，则x、y、z中，至少有一个值（）A.大于0B.等于0C.不大于0D.小于07、已知abc≠0，且a+b+c＝0，则代数式abccabbca222的值是（）A.3B.2C.1D.08、若136498322yxyxyxM（x、y是实数），则M的值一定是（）A.正数B.负数C.零D.整数二、填空题1、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为＿＿＿＿＿2、已知-1＜a＜0，化简4)1(4)1(22aaaa得＿＿＿＿＿＿＿3、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y－9，则x+2y+3z=_______________cABCab4、已知x1、x2、……、x40都是正整数，且x1+x2+……+x40＝58，若x12+x22+……+x402的最大值为A，最小值为B，则A＋B的值等于＿＿＿＿＿＿＿＿5、计算：)441()417)(413)(49)(45()439()415)(411)(47)(43(4444444444________________6、已知：多项式154723xbxax可被13x和32x整除，则ba＿＿＿＿＿三、解答题：1、已知实数a、b、c、d互不相等，且xaddccbba1111，试求x的值。2、如果对一切x的整数值，x的二次三项式cbxax2的值都是平方数（即整数的平方）。证明：①2a、ab、c都是整数。②a、b、c都是整数，并且c是平方数。反过来，如果②成立，是否对于一切x的整数值，x的二次三项式cbxax2的值都是平方数？3、若22221996199619951995a，求证：a是一完全平方数，并写出a的值。4、设a、b、c、d是四个整数，且使得222222)(41)(dcbacdabm是一个非零整数，求证：｜m｜一定是个合数。5、若2a的十位数可取1、3、5、7、9。求a的个位数。专项训练（2）参考答案一、选择题1、解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m（1＋a%）元，因调整后的零售价为原零售价的b%，所以调价后每件衬衣的零售价为m（1＋a%）b%元。应选C2、解：由已知，a，b，c为两正一负或两负一正。①当a，b，c为两正一负时：0||||||||1||1||||||abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以，；②当a，b，c为两负一正时：0||||||||1||1||||||abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以，由①②知||||||||abcabcccbbaa所有可能的值为0。应选A3、解：过A点作AD⊥CD于D，在Rt△BDA中，则于∠B＝60°，所以DB＝2C，AD＝C23。在Rt△ADC中，DC2＝AC2－AD2，所以有（a－2C）2＝b2－43C2，整理得a2＋c2=b2＋ac，从而有1))((22222bbcabacbcabcabcbaabacbcbcabac应选C4、解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于ab0，得abbaabba26，，故3baba。应选A3]2)1()1[(21211])()()[(215222222222原式　　　，，　　　又，、解：accbbaaccbbacabcabcba应选D003)1()1(1)-(azyx6222中至少有一个大于、、　　　　则、解：因zyxcb应选A3)()()()()()(7ccbbaabcaccbabcabaabcbaacbcabcacb　　　　　　　　　　　　　　、解：原式应选A。，所以这三个数不能同时为，，　　　　且，　　　　　　　　、解：因为0M03220)3()2()2(21364983822222yxyxyxyxyxyxyxM应选A二、填空题1、解：设该商品的成本为a，则有a(1+p%)(1-d%)=a，解得p100p100d2、解因为－1a0，所以。，且，即0101a-1a1aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2)1(1|1||1|)1()1(12124)14)122222222（（3、解：由已知条件知（x+1）＋y=6，(x＋1)·y=z2＋9，所以x＋1，y是t2－6t＋z2＋9=0的两个实根，方程有实数解，则△＝（－6）2－4（z2＋9）＝－4z2≥0，从而知z=0，解方程得x+1=3，y=3。所以x+2y+3z＝84、解：494。因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故2402221...xxx的最小值和最大值是存在的。不妨设4021...xxx，若1x＞1，则1x+2x＝（1x-1）+(2x+1)，且（1x－1）2+（2x+1）2＝1x2+2x2＋2（2x-1x）+2＞1x2+2x2，所以，当1x＞1时，可以把1x逐步调整到1，这时2402221...xxx将增大；同样地，可以把2x，3x，…39x逐步调整到1，这时2402221...xxx将增大。于是，当1x，2x，…39x均为1，40x＝19时，2402221...xxx取得最大值，即A＝个392221...11+192＝400。若存在两个数ix，jx，使得jx－ix≥2（1≤i≤j≤40），则（ix＋1）2+（jx-1）2＝ix2+jx2－2（jx－ix－1）＜ix2+jx2，这说明在1x，3x，…39x，40x中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1，这时，2402221...xxx将减小。所以，当2402221...xxx取到最小时，1x，2x，…40x中任意两个数的差都不大于1。于是当1x＝2x＝…＝22x＝1，23x＝24x＝…＝40x＝2时，2402221...xxx取得最小值，即942...221...111822222222个个B，故A＋B＝494353114212142140181614140138161412]1)1][(1)1[()22)(22()2()2(4522222222222222222224））（（））（）（（））（（））（）（（原式＝　　　　　　　　　、解：xxxxxxxxx6、解：由已知可知，0)23(0)31(ff，　得015214149822015347927baba，解得224ba∴a＋b＝24＋2＝26三、解答题1、解：由已知有　④　　③　　②　　①　xadxdcxcbxba1111220x0200)2)((101)2()1(11112332322xxcaxxadxxadaxadadxadxaddxxdaxxaxaxxaxcaxb，，矛盾。故有，则由⑥可得若，由已知，代入⑦得由④得　⑦即　将⑥代入③得　⑥　⑤　　代入②得　由①解出2、解：①令0x，得c＝平方数c2；令1x，得2mcba，2ncba，其中m、n都是整数，所以，2222222nmbcnma，都是整数。②如果2b是奇数2k+1（k是整数），令4x得22416hcba，其中h是整数，由于2a是整数，所以16a被4整除，有2416416kaba除以4余2，而))((22lhlhlh，在h，l的奇偶性不同时，))((lhlh是奇数；在h，l的奇偶性相同时，))((lhlh能被4整除，因此，22416lhba，从而2b是偶数，b是整数，bcma2也是整数，在②成立时，cbxax2不一定对x的整数值都是平方数，例如：a=2，b=2，c=4，x＝1时，cbxax2＝8不是平方数。3、解：设x＝1995，则1996＝x+1，所以2222222222222222223982021)199619951()]1(1[)]1([)1(21)]1([)1(2)1()1()1(2)1(2)1()1()1(1996199619951995xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxa　4、解：要证明|m｜是合数，只要能证出｜m｜＝p·q，p·q均为大于1的正整数即可。))()()((41])()][()()[(41]22][22[41)(21)][(21[)(41)(2222222222222222222222222badcbadcdcbadcbabadcdcbadcbacdabdcbacdabdcbacdabdcbacdabdcbacdabm　　　　　　　　　　　　：证明因为m是非零整数，则))()()((41badcbadcdcbadcba是非零整数。由于四个数a+b+c-d，a+b-c+d，a-b+c+d，-a+b+c+d的奇偶性相同，乘积应被4整除，所以四个数均为偶数。所以可设a+b+c-d=2m1，a+b-c+d=2m2，a-b+c+d=2m3，-a+b+c+d=2m4，其中m1，m2，m3，m4均为非零整数。所以432143214)2)(2)(2)(2(41mmmmmmmmm，所以｜m｜＝4｜m1m2m3m4｜≠0，所以｜m｜是一个合数。5、解：设cba10，其中c取自0，1，2，3，4，……，9，将2c写成两位数的形式为00，01，04，09，16，25，36，49，64，81，其中只有c＝4、6时其十位数为奇数，又222210)5(2)10(cbcbcba，可见，2a的十位数是一个偶数加上2c的十位数，当2a的十位数为奇数1，2，5，7，9时，a的个位数只能取4、6。