上海市静安区2012学年第二学期期末教学质量检测及答案

静安区2012学年第二学期期末教学质量检测高一年级数学试卷（完成时间90分钟，满分100分）2013.6一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，每题4分，只要求直接填写结果．1．已知角x的终边与单位圆的交点坐标为53,54则xtan的值为.2．已知扇形的圆心角为2，面积为4，则扇形的周长为．3．计算：10lg4log5___________.4．函数224)(1xxxf的值域是______.5．函数xxf2log)(与)(xgy的图像关于直线xy对称，则)2(g.6．设集合}sin3{，A，}cos2{，B，若}22{BA，则.7．设集合23,logPa，,Qab，若0PQ，则PQ.8．在△ABC中，已知41tanA，53tanB，且△ABC最大边的长为17，则△ABC最小边的长为____________．9．函数)1cos(xy，]2,0[x的图象与直线31y的交点的横坐标之和为.10．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于.11．已知钝角三角形ABC的边长分别为２、3、x，则第三边x的取值范围是.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分.12．既是偶函数又在区间),0(上单调递减的函数是……………………（）（A）xysin；（B）xycos；（C）xy2sin；（D）xy2cos.13．已知△ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b，则“BA”是“BbAacoscos的…（）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件．14．下列命题中正确的是…………………………（）（A）函数xysin与xyarcsin互为反函数；（B）函数xysin与xyarcsin都是增函数；（C）函数xysin与xyarcsin都是奇函数；（D）函数xysin与xyarcsin都是周期函数．15．设定义在R上的函数)(xf是最小正周期为2的偶函数，当],0[x时，1)(0xf，且在]2,0[上单调递减，在],2[上单调递增，则函数xxfysin)(在]10,10[上的零点个数为…………（）（A）0；（B）10；（C）20；（D）40.三、解答题（本大题满分40分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.16.(本题满分6分)已知函数22()log(23)fxxx，求该函数的定义域和值域，并指出其单调区间.17.(本题满分8分)，已知函数xxaxfcossin)(，a为是常数，Rx．（1）请指出函数)(xf的奇偶性，并给予证明；（2）当3a，2,0x时，求)(xf的取值范围．18.(本题满分8分．请给出两种解法，每种正确解法各得4分)已知5cos4sin3xx，求xtan的值.19.(本题满分8分)一铁棒AB欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）用表示铁棒的长度)(L；（2）若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值．20.(本题满分10分)已知函数14cos4sin2)(xxxf（1）求函数)(xf的周期；（2）若函数xxfxg2cos32)()(，试求函数)(xg的单调递增区间；（3）若72cos)(22mmxxf恒成立，试求实数m的取值范围.2m2mθＡＢ【参考答案】1.43；2.8；3.2；4.),1[；5.4；6.Zkk,245；7.}1,0,3{；8.2；9.22；10.257；11.)5,13()5,1(12.B；13.Ａ；14.D；15.C16.(本题满分6分)已知函数22()log(23)fxxx，求该函数的定义域和值域，并指出其单调区间.解：由2230xx，解得13x，所以函数()fx的定义域为(1,3).2分令2223(1)4txxx，则04t，所以22()loglog42fxt，因此函数()fx的值域为(,2]…………………………………………2分单调递增区间]1,1(，递减区间为)3,1[…………………………………2分17.(本题满分8分)，已知函数xxaxfcossin)(，a为是常数，Rx．（1）请指出函数)(xf的奇偶性，并给予证明；（2）当3a，2,0x时，求)(xf的取值范围．解：（1）xxaxfcossin)(，)()(xfxfxxaxxacossincossin00sin2axa,所以，当0a时，)(xf是偶函数．……………………2分)()(xfxfxxaxxacossincossin0cos2x,Zkkx.2仅对成立，所以，)(xf是不是奇函数．……2分综上：当0a时，)(xf是偶函数；当0a时，)(xf是非奇非偶函数．注：当0a时，证明)(xf是非奇或非偶函数可举例说明．（2）当3a时，6sin2cossin3)(xxxxf……………2分由2,0x，得3266x，16sin21x．所以．2,1)(xf．………………………………………………………（2分）18.(本题满分8分．请给出两种解法，每种正确解法各得4分)已知5cos4sin3xx，求xtan的值.解法1：由5cos4sin3xx得：5114123222tttt（其中2tanxt），整理得01692tt，即0)13(2t，从而31t，所以：4331131212tan22ttx解法2：由5cos4sin3xx得：5cos54sin535xx，从而1)sin(x，其中)20(34tan。由1)sin(x得：22kx，即Zkkx,22，所以43cot2tan22tantankx解法3；由5cos4sin3xx两边平方得：25cos16cossin24sin922xxxx，由于xx22cos25sin2525，所以0cos9cossin24sin1622xxxx，即0)cos3sin4(2xx，所以0cos3sin4xx，从而43tanx.解法4：因4cos4,3sin3xx，所以由条件得0cos,0sinxx，所以x为第一象限角，由5cos4sin3xx两边除以xcos得：xxsec54tan3，而xx2tan1sec，所以xx2tan154tan3，从而xxx22tan252516tan24tan9，整理得09tan24tan162xx，解得43tanx.解法5：由5cos4sin3xx得：0cos40sin3050xx，从而0)16cos40cos25()9sin30sin25(22xxxx，即：0)4cos5()3sin5(22xx，于是得：34cos,53sinxx，所以，43tanx.解法6：设),(nmP为角x终边上任意一点，P到原点O的距离为r，则22nmr，从而由5cos4sin3xx得：543rmrn，即rmn543，两边平方得：2222516249rmmnn，从而有：2222252516249nmmmnn，整理得：0)34(2mn，所以mn34，显然0m，故43tanmnx.解法7：设Axxsin4cos3，则由5cos4sin3sin4cos3xxAxx两式平方相加得：251692A，所以0A，即0sin4cos3xx，故43tanx.解法8：由5cos4sin3xx得：xxcos54sin531，利用不等式222baab得：12cos542sin53cos54sin5312222xxxx，等号当且仅当34cos,53sinxx时成立，所以43tanx.解法9：作ABCRt，使4AC，3BC，则5AB，作ABCD于D，并设A，则BCD（如图所示），这样有ADACcos，DBBCsin，所以ABDBADBCACsincos，即5sin3cos4，即是方程5cos4sin3xx的一个解，于是43tantanACBCx，（此处，Zkkx,2）解法10：因为2525cos4sin3xx，所以xxcos4,25,sin3成等差数列，于是可以设dxx25cos4sin325，从而dx2531sin，dx2541cos，代入1cossin22xx，得：125161259122dd，整理得：0491401002dd，解得107d，于是53sinx，54cosx，所以43tanx.19.(本题满分8分)一铁棒AB欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）用表示铁棒的长度)(L；（2）若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值．解：（1）根据题中图形可知：cos2sin2)(L，CABDαα4352m2mθＡＢ)2,0(；………………………………………………………………………3分（2）本题即求)(L的最小值.……………………………………………………2分由于cossincossin2cos2sin2)(L，令cossint，]2,1(t，则得：tttttL1414)(2，]2,1(t因为)(tL在]2,1(上是减函数，所以24)2()(minLtL………………3分所以能水平通过该直角走廊的铁棒长度的最大值为24m.另解：2sin412sin14cossincossin2)(222L4212sin1162sin12sin11622因为)2,0(，所以),0(2，所以当22，即4时32)(min2L，24)(minLm.20.(本题满分10分)已知函数14cos4sin2)(xxxf（1）求函数)(xf的周期；（2）若函数xxfxg2cos32)()(，试求函数)(xg的单调递增区间；（3）若72cos)(22mmxxf恒成立，试求实数m的取值范围.解：（1）因为14sin4sin2)(xxxf=xxx2sin22cos14sin22所以)(xf的周期22T.………………………………………2分（2）由（1），知xxfxg2cos32)()(32cos32sinxx=332sin2x………………………………2分由223222kxk，得652262kxk，从而12512kxk，所以函数)(xg的单调递增区间125,12kk，Zk.……………2分（3）因为12cos2cos2cos2sin2c