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静安区2012学年第二学期期末教学质量检测高一年级数学试卷(完成时间90分钟,满分100分)2013.6一、填空题(本大题满分44分)本大题共有11题,每题4分,只要求直接填写结果.1.已知角x的终边与单位圆的交点坐标为53,54则xtan的值为.2.已知扇形的圆心角为2,面积为4,则扇形的周长为.3.计算:10lg4log5___________.4.函数224)(1xxxf的值域是______.5.函数xxf2log)(与)(xgy的图像关于直线xy对称,则)2(g.6.设集合}sin3{,A,}cos2{,B,若}22{BA,则.7.设集合23,logPa,,Qab,若0PQ,则PQ.8.在△ABC中,已知41tanA,53tanB,且△ABC最大边的长为17,则△ABC最小边的长为____________.9.函数)1cos(xy,]2,0[x的图象与直线31y的交点的横坐标之和为.10.2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为,那么cos2的值等于.11.已知钝角三角形ABC的边长分别为2、3、x,则第三边x的取值范围是.二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,否则一律得零分.12.既是偶函数又在区间),0(上单调递减的函数是……………………()(A)xysin;(B)xycos;(C)xy2sin;(D)xy2cos.13.已知△ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b,则“BA”是“BbAacoscos的…()(A)充分非必要条件;(B)必要非充分条件;(C)充要条件;(D)非充分非必要条件.14.下列命题中正确的是…………………………()(A)函数xysin与xyarcsin互为反函数;(B)函数xysin与xyarcsin都是增函数;(C)函数xysin与xyarcsin都是奇函数;(D)函数xysin与xyarcsin都是周期函数.15.设定义在R上的函数)(xf是最小正周期为2的偶函数,当],0[x时,1)(0xf,且在]2,0[上单调递减,在],2[上单调递增,则函数xxfysin)(在]10,10[上的零点个数为…………()(A)0;(B)10;(C)20;(D)40.三、解答题(本大题满分40分)本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤.16.(本题满分6分)已知函数22()log(23)fxxx,求该函数的定义域和值域,并指出其单调区间.17.(本题满分8分),已知函数xxaxfcossin)(,a为是常数,Rx.(1)请指出函数)(xf的奇偶性,并给予证明;(2)当3a,2,0x时,求)(xf的取值范围.18.(本题满分8分.请给出两种解法,每种正确解法各得4分)已知5cos4sin3xx,求xtan的值.19.(本题满分8分)一铁棒AB欲水平通过如图所示的直角走廊,试回答下列问题:(1)用表示铁棒的长度)(L;(2)若铁棒能通过该直角走廊,求铁棒长度的最大值.20.(本题满分10分)已知函数14cos4sin2)(xxxf(1)求函数)(xf的周期;(2)若函数xxfxg2cos32)()(,试求函数)(xg的单调递增区间;(3)若72cos)(22mmxxf恒成立,试求实数m的取值范围.2m2mθAB【参考答案】1.43;2.8;3.2;4.),1[;5.4;6.Zkk,245;7.}1,0,3{;8.2;9.22;10.257;11.)5,13()5,1(12.B;13.A;14.D;15.C16.(本题满分6分)已知函数22()log(23)fxxx,求该函数的定义域和值域,并指出其单调区间.解:由2230xx,解得13x,所以函数()fx的定义域为(1,3).2分令2223(1)4txxx,则04t,所以22()loglog42fxt,因此函数()fx的值域为(,2]…………………………………………2分单调递增区间]1,1(,递减区间为)3,1[…………………………………2分17.(本题满分8分),已知函数xxaxfcossin)(,a为是常数,Rx.(1)请指出函数)(xf的奇偶性,并给予证明;(2)当3a,2,0x时,求)(xf的取值范围.解:(1)xxaxfcossin)(,)()(xfxfxxaxxacossincossin00sin2axa,所以,当0a时,)(xf是偶函数.……………………2分)()(xfxfxxaxxacossincossin0cos2x,Zkkx.2仅对成立,所以,)(xf是不是奇函数.……2分综上:当0a时,)(xf是偶函数;当0a时,)(xf是非奇非偶函数.注:当0a时,证明)(xf是非奇或非偶函数可举例说明.(2)当3a时,6sin2cossin3)(xxxxf……………2分由2,0x,得3266x,16sin21x.所以.2,1)(xf.………………………………………………………(2分)18.(本题满分8分.请给出两种解法,每种正确解法各得4分)已知5cos4sin3xx,求xtan的值.解法1:由5cos4sin3xx得:5114123222tttt(其中2tanxt),整理得01692tt,即0)13(2t,从而31t,所以:4331131212tan22ttx解法2:由5cos4sin3xx得:5cos54sin535xx,从而1)sin(x,其中)20(34tan。由1)sin(x得:22kx,即Zkkx,22,所以43cot2tan22tantankx解法3;由5cos4sin3xx两边平方得:25cos16cossin24sin922xxxx,由于xx22cos25sin2525,所以0cos9cossin24sin1622xxxx,即0)cos3sin4(2xx,所以0cos3sin4xx,从而43tanx.解法4:因4cos4,3sin3xx,所以由条件得0cos,0sinxx,所以x为第一象限角,由5cos4sin3xx两边除以xcos得:xxsec54tan3,而xx2tan1sec,所以xx2tan154tan3,从而xxx22tan252516tan24tan9,整理得09tan24tan162xx,解得43tanx.解法5:由5cos4sin3xx得:0cos40sin3050xx,从而0)16cos40cos25()9sin30sin25(22xxxx,即:0)4cos5()3sin5(22xx,于是得:34cos,53sinxx,所以,43tanx.解法6:设),(nmP为角x终边上任意一点,P到原点O的距离为r,则22nmr,从而由5cos4sin3xx得:543rmrn,即rmn543,两边平方得:2222516249rmmnn,从而有:2222252516249nmmmnn,整理得:0)34(2mn,所以mn34,显然0m,故43tanmnx.解法7:设Axxsin4cos3,则由5cos4sin3sin4cos3xxAxx两式平方相加得:251692A,所以0A,即0sin4cos3xx,故43tanx.解法8:由5cos4sin3xx得:xxcos54sin531,利用不等式222baab得:12cos542sin53cos54sin5312222xxxx,等号当且仅当34cos,53sinxx时成立,所以43tanx.解法9:作ABCRt,使4AC,3BC,则5AB,作ABCD于D,并设A,则BCD(如图所示),这样有ADACcos,DBBCsin,所以ABDBADBCACsincos,即5sin3cos4,即是方程5cos4sin3xx的一个解,于是43tantanACBCx,(此处,Zkkx,2)解法10:因为2525cos4sin3xx,所以xxcos4,25,sin3成等差数列,于是可以设dxx25cos4sin325,从而dx2531sin,dx2541cos,代入1cossin22xx,得:125161259122dd,整理得:0491401002dd,解得107d,于是53sinx,54cosx,所以43tanx.19.(本题满分8分)一铁棒AB欲水平通过如图所示的直角走廊,试回答下列问题:(1)用表示铁棒的长度)(L;(2)若铁棒能通过该直角走廊,求铁棒长度的最大值.解:(1)根据题中图形可知:cos2sin2)(L,CABDαα4352m2mθAB)2,0(;………………………………………………………………………3分(2)本题即求)(L的最小值.……………………………………………………2分由于cossincossin2cos2sin2)(L,令cossint,]2,1(t,则得:tttttL1414)(2,]2,1(t因为)(tL在]2,1(上是减函数,所以24)2()(minLtL………………3分所以能水平通过该直角走廊的铁棒长度的最大值为24m.另解:2sin412sin14cossincossin2)(222L4212sin1162sin12sin11622因为)2,0(,所以),0(2,所以当22,即4时32)(min2L,24)(minLm.20.(本题满分10分)已知函数14cos4sin2)(xxxf(1)求函数)(xf的周期;(2)若函数xxfxg2cos32)()(,试求函数)(xg的单调递增区间;(3)若72cos)(22mmxxf恒成立,试求实数m的取值范围.解:(1)因为14sin4sin2)(xxxf=xxx2sin22cos14sin22所以)(xf的周期22T.………………………………………2分(2)由(1),知xxfxg2cos32)()(32cos32sinxx=332sin2x………………………………2分由223222kxk,得652262kxk,从而12512kxk,所以函数)(xg的单调递增区间125,12kk,Zk.……………2分(3)因为12cos2cos2cos2sin2c
本文标题:上海市静安区2012学年第二学期期末教学质量检测及答案
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