上海市虹口区2015届高考数学二模试卷（文科）（解析版）

2015年上海市虹口区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．计算：=．（i是虚数单位）2．已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=．3．函数f（x）=ln（+1）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=．4．已知正实数x，y满足x+3y=1，则xy的最大值为．5．已知复数z=3sinθ+icosθ（i是虚数单位），且|z|=，则当θ为钝角时，tanθ=．6．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有种．7．设数列{an}前n项的和为Sn，若a1=4，且an+1=3Sn（n∈N*），则Sn=．8．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在圆（x﹣1）2+y2=4上，则p=．9．若二项式展开式中含x2项的系数为，则=．10．若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式为﹣1，则实数x的取值集合为．11．如图所示，已知F1，F2为双曲线的两个焦点，且|F1F2|=2，若以坐标原点O为圆心，|F1F2|为直径的圆与该双曲线的左支相交于A，B两点，且△F2AB为正三角形，则双曲线的实轴长为．12．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，若函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象经过区域M，则实数a的取值范围为．13．已知直线l1：12x﹣5y+15=0和l2：x=﹣2，点P为抛物线y2=8x上的动点，则点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为．14．已知向量，满足，且，则|2﹣|的最小值为．二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．设全集U=R，已知A={x|＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则（∁UA）∩B=（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣1，﹣2]C．（2，3]D．[2，3）16．设a∈R，则“a=﹣1”是“f（x）=|（ax﹣2）x|在（0，+∞）上单调递增”的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件17．一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的体积为（）A．24B．16C．12D．818．设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x2．又函数g（x）=|sin（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在区间[﹣1，3]上零点的个数为（）A．6B．7C．8D．9三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．函数f（x）=m+logax（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2）和（1，﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．20．在如图所示的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，AA1=4．（1）求直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积；（2）求异面直线AD1与BA1所成角的大小．21．如图，经过村庄A有两条夹角60°为的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．记∠AMN=θ．（1）将AN，AM用含θ的关系式表示出来；（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？22．已知圆F1：（x+1）2+y2=8，点F2（1，0），点Q在圆F1上运动，QF2的垂直平分线交QF1于点P．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设M、N分别是曲线C上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率；（3）过点的动直线l交曲线C于A、B两点，求证：以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．23．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1=1，4Sn=（an+1）2（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=+（∈N*），试求（b1+b2+…+bn﹣2n）的值；（3）是否存在大于2的正整数m、k，使得am+am+1+am+2+…+am+k=300？若存在，求出所有符合条件的m、k；若不存在，请说明理由．2015年上海市虹口区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．计算：=﹣i．（i是虚数单位）【考点】复数代数形式的乘除运算；虚数单位i及其性质．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由虚数单位i的运算性质化简，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解答】解：=．故答案为：﹣i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由分段函数f（x）=，先求f（﹣3），再求f（f（﹣3））即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣3）=2﹣3=，f（f（﹣3））=f（）==，故答案为：．【点评】本题考查了分段函数的简单应用，属于基础题．3．函数f（x）=ln（+1）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=，x∈（0，+∞）．【考点】反函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用反函数的求法求解即可．【解答】解：函数f（x）=ln（+1）（x＞0），f（x）∈（0，+∞）．+1=ey，解得x=，函数f（x）=ln（+1）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=，x∈（0，+∞）．故答案为：，x∈（0，+∞）．【点评】本题考查反函数与原函数的关系，考查计算能力．注意函数的定义域．4．已知正实数x，y满足x+3y=1，则xy的最大值为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】运用基本不等式得出x+3y=1，化简求解xy即可．【解答】解；∵正实数x，y满足x+3y=1，∴x+3y=1，化简得出xy（x=3y=等号成立）xy的最大值为（=，y=等号成立）故答案为；【点评】本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断，变形得出不等式的条件，属于容易题．5．已知复数z=3sinθ+icosθ（i是虚数单位），且|z|=，则当θ为钝角时，tanθ=﹣1．【考点】复数求模．【专题】三角函数的求值；数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的模，得到θ的三角方程，然后求解即可．【解答】解：复数z=3sinθ+icosθ（i是虚数单位），且|z|=，可得9sin2θ+cos2θ=5，可得sin2θ=，当θ为钝角时，sinθ=，θ=135°，∴tanθ=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数的模以及三角函数的化简求值，考查计算能力．6．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有10种．【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；排列组合．【分析】分类讨论：选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论．【解答】解：选择两门理科学科，一门文科学科，有=9种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种．故答案为：10．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．7．设数列{an}前n项的和为Sn，若a1=4，且an+1=3Sn（n∈N*），则Sn=4n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】an+1=3Sn（n∈N*），变形为Sn+1﹣Sn=3Sn，Sn+1=4Sn，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵an+1=3Sn（n∈N*），∴Sn+1﹣Sn=3Sn，化为Sn+1=4Sn，∴数列{Sn}是等比数列，首项为4，公比为4．∴Sn=4n．故答案为：4n．【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在圆（x﹣1）2+y2=4上，则p=6．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点（，0），把它代入圆的方程求出p的值．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），代入圆（x﹣1）2+y2=4得（﹣1）2=4，∴p=6，故答案为：6．【点评】本题考查由抛物线的方程求焦点坐标，以及点在圆上的性质．9．若二项式展开式中含x2项的系数为，则=．【考点】极限及其运算；二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】根据二项式展开式的通项公式求出展开式中含x2项的系数，得出a的值；再计算的值．【解答】解：∵二项式展开式的通项公式为Tr+1=•x6﹣r•=（﹣a）r••，令6﹣r=2，解得r=3；∴展开式中含x2项的系数为（﹣a）3•=，解得a=﹣；∴===．故答案为：．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了数列求和的应用问题以及极限的计算问题，是基础题目．10．若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式为﹣1，则实数x的取值集合为{x|x=π+2kπ，k∈Z}．【考点】三阶矩阵．【专题】三角函数的求值；矩阵和变换．【分析】本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算，即可得到本题结论．【解答】解：∵行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式为﹣1，∴﹣=﹣1，∴sin（π+x）﹣=1，∴﹣sinx﹣×（cosx﹣sinx）=1，即cosx=﹣1，∴x=π+2kπ（k∈Z），故答案为：{x|x=π+2kπ，k∈Z}．【点评】本题考查了行列式的代数余子式，三角函数的计算，记住常用常见角的三角函数值是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．11．如图所示，已知F1，F2为双曲线的两个焦点，且|F1F2|=2，若以坐标原点O为圆心，|F1F2|为直径的圆与该双曲线的左支相交于A，B两点，且△F2AB为正三角形，则双曲线的实轴长为﹣1．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据△F2AB是等边三角形，判断出∠AF2F1=30°，进而在RT△AF1F2中求得|AF1|，|AF2|，进而根据双曲线的简单性质求得a可得．【解答】解：∵△F2AB是等边三角形，∴∠AF2F1=30°，∵|F1F2|=2，∴|AF1|=1，|AF2|=，∴a=，∴2a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用．属基础题．12．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，若函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象经过区域M，则实数a的取值范围为[2，9]．【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题【解答】解：平面区域M如如图所示．求得A（2，10），C（3，8），B（1，9）．由图可知，欲满足条件必有a＞1且图象在过B、C两点的图象之间．当图象过B点时，a1=9，∴a=9．当图象过C点时，a3=8，∴a=2．故a的取值范围为[2，9]．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组、指数函数的图象与性质，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础．13．已知直线l1：12x﹣5y+15=0和l2：x=﹣2，点P为抛物线y2=8x上的动点，则点P到直线l1