上海市虹口区2015届高考数学二模试卷（理科）（解析版）

2015年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．计算：=．（i是虚数单位）2．已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=．3．函数f（x）=ln（+1）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=．4．已知正实数x，y满足x+3y=1，则的最小值为．5．已知复数z=3sinθ+icosθ（i是虚数单位），且|z|=，则当θ为钝角时，tanθ=．6．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有种．7．设数列{an}前n项的和为Sn，若a1=4，且an+1=3Sn（n∈N*），则Sn=．8．在极坐标系中，过点且与圆ρ=2cosθ相切的直线的方程为．9．若二项式展开式中含x2项的系数为，则=．10．若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式为﹣1，则实数x的取值集合为．11．如图所示，已知F1，F2为双曲线的两个焦点，且|F1F2|=2，若以坐标原点O为圆心，|F1F2|为直径的圆与该双曲线的左支相交于A，B两点，且△F2AB为正三角形，则双曲线的实轴长为．12．随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣101Pabc其中a，b，c成等差数列，若．则Dξ的值是．13．已知向量，满足，且，则|2﹣|的最小值为．14．若f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意的实数x≥0，总有正常数T，使得f（x+T）=f（x）+T成立，则称f（x）具有“性质p”，已知函数g（x）具有“性质p”，且在[0，T]上，g（x）=x2；若当x∈[﹣T，4T]时，函数y=g（x）﹣kx恰有8个零点，则实数k=．二、选择题（本题共4题，满分20分）每题只有一个正确答案，考生在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．设全集U=R，已知A=，B={x||x﹣1|＜2}，则（∁UA）∩B=（）A．B．（﹣1，2]C．（2，3]D．[2，3）16．设a∈R，则“a=﹣1”是“f（x）=|（ax﹣2）x|在（0，+∞）上单调递增”的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件17．如图所示，△PAB所在平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，若tan∠ADP﹣2tan∠BCP=1，则动点P在平面α内的轨迹是（）A．线段B．椭圆的一部分C．抛物线D．双曲线的一部分18．F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为抛物线上三点．O为坐标原点，若F是△ABC的重心，△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3，则S12+S22+S32的值为（）A．3B．4C．6D．9三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．函数f（x）=m+logax（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2）和（1，﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．20．在如图所示的几何体中，四边形CDPQ为矩形，四边形ABCD为直角梯形，且∠BAD=∠ADC=90°，平面CDPQ⊥平面ABCD，AB=AD=CD=1，PD=．（1）若M为PA的中点，求证：AC∥平面DMQ；（2）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小．21．如图，经过村庄A有两条夹角60°为的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．记∠AMN=θ．（1）将AN，AM用含θ的关系式表示出来；（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？22．已知圆F1：（x+1）2+y2=8，点F2（1，0），点Q在圆F1上运动，QF2的垂直平分线交QF1于点P．（1）求动点P的轨迹的方程C；（2）设M，N分别是曲线C上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率；（3）过点的动直线l交曲线C于A，B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．23．已知数列{an}满足：a1=a2=1，且an+2﹣an=2n（n∈N*），设bn=3an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）在数列{bn}中，是否存在连续三项构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，请说明理由；（3）试证明：在数列{bn}中，一定存在正整数k、l（1＜k＜l），使得b1、bk、bl构成等差数列，并求出k、l之间的关系．2015年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．计算：=﹣i．（i是虚数单位）【考点】复数代数形式的乘除运算；虚数单位i及其性质．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由虚数单位i的运算性质化简，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解答】解：=．故答案为：﹣i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由分段函数f（x）=，先求f（﹣3），再求f（f（﹣3））即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣3）=2﹣3=，f（f（﹣3））=f（）==，故答案为：．【点评】本题考查了分段函数的简单应用，属于基础题．3．函数f（x）=ln（+1）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=，x∈（0，+∞）．【考点】反函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用反函数的求法求解即可．【解答】解：函数f（x）=ln（+1）（x＞0），f（x）∈（0，+∞）．+1=ey，解得x=，函数f（x）=ln（+1）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=，x∈（0，+∞）．故答案为：，x∈（0，+∞）．【点评】本题考查反函数与原函数的关系，考查计算能力．注意函数的定义域．4．已知正实数x，y满足x+3y=1，则的最小值为7．【考点】基本不等式．【专题】导数的综合应用．【分析】正实数x，y满足x+3y=1，可得＞0，解得0＜x＜1．于是==f（x），利用导数研究单调性极值即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足x+3y=1，∴＞0，解得0＜x＜1．则==f（x），∴f′（x）=+=，当x∈时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当x∈时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴当x=，y=时，函数f（x）取得极小值即最小值，=4+3=7．故答案为：7．【点评】本题考查了利用导数研究单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知复数z=3sinθ+icosθ（i是虚数单位），且|z|=，则当θ为钝角时，tanθ=﹣1．【考点】复数求模．【专题】三角函数的求值；数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的模，得到θ的三角方程，然后求解即可．【解答】解：复数z=3sinθ+icosθ（i是虚数单位），且|z|=，可得9sin2θ+cos2θ=5，可得sin2θ=，当θ为钝角时，sinθ=，θ=135°，∴tanθ=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数的模以及三角函数的化简求值，考查计算能力．6．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有10种．【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；排列组合．【分析】分类讨论：选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论．【解答】解：选择两门理科学科，一门文科学科，有=9种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种．故答案为：10．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．7．设数列{an}前n项的和为Sn，若a1=4，且an+1=3Sn（n∈N*），则Sn=4n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】an+1=3Sn（n∈N*），变形为Sn+1﹣Sn=3Sn，Sn+1=4Sn，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵an+1=3Sn（n∈N*），∴Sn+1﹣Sn=3Sn，化为Sn+1=4Sn，∴数列{Sn}是等比数列，首项为4，公比为4．∴Sn=4n．故答案为：4n．【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．在极坐标系中，过点且与圆ρ=2cosθ相切的直线的方程为1=ρsinθ．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】分别把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质可得切线的斜率，即可得出．【解答】解：点P化为P（1，1），圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，化为（x﹣1）2+y2=1．设与圆相切的直线的方程为y﹣1=k（x﹣1），即kx﹣y+1﹣k=0，则=1，解得k=0．∴切线方程为y=1．化为极坐标方程为：1=ρsinθ．故答案为：1=ρsinθ．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．若二项式展开式中含x2项的系数为，则=．【考点】极限及其运算；二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】根据二项式展开式的通项公式求出展开式中含x2项的系数，得出a的值；再计算的值．【解答】解：∵二项式展开式的通项公式为Tr+1=•x6﹣r•=（﹣a）r••，令6﹣r=2，解得r=3；∴展开式中含x2项的系数为（﹣a）3•=，解得a=﹣；∴===．故答案为：．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了数列求和的应用问题以及极限的计算问题，是基础题目．10．若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式为﹣1，则实数x的取值集合为{x|x=π+2kπ，k∈Z}．【考点】三阶矩阵．【专题】三角函数的求值；矩阵和变换．【分析】本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算，即可得到本题结论．【解答】解：∵行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式为﹣1，∴﹣=﹣1，∴sin（π+x）﹣=1，∴﹣sinx﹣×（cosx﹣sinx）=1，即cosx=﹣1，∴x=π+2kπ（k∈Z），故答案为：{x|x=π+2kπ，k∈Z}．【点评】本题考查了行列式的代数余子式，三角函数的计算，记住常用常见角的三角函数值是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．11．如图所示，已知F1，F2为双曲线的两个焦点，且|F1F2|=2，若以坐标原点O为圆心，|F1F2|为直径的圆与该双曲线的左支相交于A，B两点，且△F2AB为正三角形，则双曲线的实轴长为﹣1．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据△F2AB是等边三角形，判断出∠AF2F1=30°，进而在RT△AF1F2中求得|AF1|，|AF2|，进而根据双曲线的简单性质求得a可得．【解答】解：∵△F2AB是等边三角形，∴∠AF2F1=30°，∵|F1F2|=2，∴|AF1|=1，|AF2|=，∴a=，∴2a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用．属基础题．12．随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣101Pabc其中a，b，c成等差数列，若．则Dξ的值是．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】要求这组数