上海市崇明县2015年高考数学一模试卷（解析版）

2015年上海市崇明县高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每题4分，共56分）1．设复数z1=1+i，z2=2+xi，（x∈R），若z1•z2∈R，则x的值等于．2．函数f（x）=+的定义域是．3．已知线性方程组的增广矩阵为，则其对应的方程组为．4．在二项式的展开式中，x的一次项系数为．（用数字表示）5．已知双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），那么k=．6．圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为．7．设无穷等比数列{an}（n∈N*）的公比q=﹣=1，则=．8．为了估计鱼塘中鱼的尾数，先从鱼塘中捕出2000尾鱼，并给每条尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回鱼塘，经过适当的时机，再从鱼塘中捕出600尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该鱼塘中鱼的尾数为．9．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为．10．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．11．f（x）是定义在R上周期为2的函数，在区间[﹣1，1]时，有f（x）=，其中a，b∈R，若，则a+3b的值为．12．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC，，则△ABC面积的最大值为．13．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．14．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．二、选择题（共4小题，每题5分，共20分）15．若a＜0，b＜0，则p=与q=a+b的大小关系为（）A．p＜qB．p≤qC．p＞qD．p≥q16．已知圆x2+y2=1及以下三个函数：（1）f（x）=x3；（2）f（x）=xcosx；（3）f（x）=tanx．其中图象能等分圆的面积的函数个数为（）A．3B．2C．1D．017．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．18．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．三、解答题（共5大题，满分74分）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．求：（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）（2）四棱锥P﹣ABCD的体积．20．已知函数f（x）=cos2xsin2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．21．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表；月数1234…污染度6031130…污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x﹣4|（x≥1），g（x）=（x≥1），h（x）=30|log2x﹣2|（x≥1），其中x表示月数，f（x）、g（x）、h（x）分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？22．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．23．已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26．（1）求{an}的通项公式；（2）若m=，数列{bn}满足关系式bn=，求证：数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1；（3）设（2）中的数列{bn}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，（1﹣n）•（Sn+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．2015年上海市崇明县高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每题4分，共56分）1．设复数z1=1+i，z2=2+xi，（x∈R），若z1•z2∈R，则x的值等于﹣2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，然后由虚部等于0求得x的值．【解答】解：∵z1=1+i，z2=2+xi，由z1•z2=（1+i）（2+xi）=（2﹣x）+（x+2）i∈R，得x+2=0，即x=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．函数f（x）=+的定义域是[0，1）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，则，解得0≤x＜1，故函数的定义域为[0，1）．故答案为：[0，1）．【点评】此题主要考查函数定义域的求法问题，题中涉及到对数函数和幂函数的定义域求法，计算量小，属于基础题目．3．已知线性方程组的增广矩阵为，则其对应的方程组为．【考点】二阶矩阵．【专题】计算题．【分析】首先应理解线性方程组增广矩阵的涵义，由增广矩阵即可直接写出原二元线性方程组．【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为，可得到线性方程组的表达式：．故答案为：．【点评】此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．4．在二项式的展开式中，x的一次项系数为﹣10．（用数字表示）【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】运用二项式的通项公式，即得Tr+1=，化简整理，再令x的指数为，即可得到系数．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为：Tr+1==，令10﹣3r=1，解得，r=3．则有x的一次项系数为=﹣10．故答案为：﹣10．【点评】本题考查二项式的展开式的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5．已知双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），那么k=．【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】已知双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），可求出渐近线的斜率，由此求出k的值即可．【解答】解：由题意双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），可得渐近线的斜率为﹣，由于双曲线的渐近线方程为y=±kx故k=，故答案为：【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线的法向量是（1，2），由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．6．圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为3π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先求圆锥的母线，然后直接利用圆锥侧面积公式求解即可．【解答】解：圆锥的高为1，底面半径为3，所以圆锥的母线为：，圆锥的侧面积：×2×3×π×=3π，故答案为：3π．【点评】本题考查圆锥的侧面积公式，是基础题．7．设无穷等比数列{an}（n∈N*）的公比q=﹣=1，则=﹣．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】运用等比数列的通项公式，求出数列{a2n}为公比为，首项为﹣的等比数列，再由无穷递缩等比数列的求和公式，即可得到极限．【解答】解：a2=a1q=﹣，a4=a1q3=﹣，…，a2n=a1q2n﹣1=（﹣）2n﹣1．则数列{a2n}为公比为，首项为﹣的等比数列，则===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查无穷递缩等比数列的和，考查等比数列的通项和求和，考查运算能力，属于基础题．8．为了估计鱼塘中鱼的尾数，先从鱼塘中捕出2000尾鱼，并给每条尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回鱼塘，经过适当的时机，再从鱼塘中捕出600尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该鱼塘中鱼的尾数为30000．【考点】收集数据的方法．【专题】概率与统计．【分析】根据题意，利用抽样方法中样本与总体的比例是一致的，列出方程，求出该鱼塘中鱼的尾数即可．【解答】解：根据题意，设该鱼塘中鱼的尾数为x，则；=，解得x=30000；∴估计该鱼塘中鱼的尾数为30000．故答案为：30000．【点评】本题考查了抽样方法的应用问题，是基础题目．9．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为8．【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据抛物线的方程可求得其焦点坐标，和k的坐标，过A作AM⊥准线，根据抛物线的定义可知|AM|=|AF|根据已知条件可知|AK|=|AM|，设出A的坐标，利用|AK|=|AF|求得m，然后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：F（2，0）K（﹣2，0）过A作AM⊥准线则|AM|=|AF|∴|AK|=|AM|∴△AFK的高等于|AM|设A（m2，2m）（m＞0）则△AFK的面积=4×2m=4m又由|AK|=|AF|，过A作准线的垂线，垂足为P，三角形APK为等腰直角三角形，所以m=2，∴△AFK的面积=4×2m=8故答案为：8【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握．10．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．【考点】等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．【专题】等差数列与等比数列；概率与统计．【分析】先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题11．f（x）是定义在R上周期为2的函数，在区间[﹣1，1]时，有f（x）=，其中a，b∈R，若，则a+3b的值为﹣10．【考点】函数的周期性；分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由周期性可得f（）=f（﹣2）=f（﹣），代已知解析式可得3a+2b=﹣2，①，再由f（﹣1）=f（1）可得﹣a+1=，②，联立①②可解得a=2，b=﹣4，可得a+3b的值．【解答】解：由题意可得f（）==，又f（）=f（﹣2）=f（﹣）=+1，∴=+1，∴3a+2b=﹣2，①又∵f（﹣1）=f（1），∴﹣a+1=，②联立①②解得a=2，b=﹣4，∴a+3b=﹣10故答案为：﹣10【点评】本题考查函数的周期性，涉及分段函数和方程组的解法，属基础题．12．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC，，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两