上海格致中学2013届高三下学期仿真考试数学（文）试题

格致中学二〇一二学年度第二学期仿真考试高三年级数学(文科)试卷(共4页)(测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷)一、填空题：（每小题4分，满分56分）1、已知复数z满足(1)2zi（i是虚数单位），则||z＿2＿＿；2、若全集UR，集合{|31}Axx，{|22}Bxx，则AB＿[2,1]＿；3、不等式1021xx的解为＿＿112x＿＿＿；4、若二项式6()axx展开式的常数项为20，则a＿＿1＿＿；5、将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为＿33＿；6、某学院的A、B、C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取＿＿40＿＿名学生；7、已知函数1()(0xfxaa且1)a的反函数为1()fx。若1(3)1f，则a的值为3；8、数列{}na满足：对于任意的*,mnN，mnmnaaa。若112a，则2013a＿20132；9、若函数()2sin(04)2fxxx的图像与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图像交于另外两点B、C，则()OBOCOA______8_____；10、袋中装有同样大小的10个小球，其中有8个白球，2个红球。从中任取2个球，取到白球得1分，取到红球得5分。则一次取得的两球的分数之和为6分的概率等于＿1645＿；11、若双曲线22221(0,0)xyabab上存在四个不同的点A、B、C、D，使四边形ABCD为菱形，则ba的取值范围为＿＿＿(1,)＿＿＿＿；12、设zxy，其中实数,xy满足2000xyxyyk。若z的最大值为12，则z的最小值为6；13、定义在R上的偶函数()fx对于任意的xR有(1)(1)fxfx，且当[2,3]x时，2()69fxxx。若函数()logayfxx在(0,)上只有四个零点，则实数a的值班级____________姓名________________学号____________准考证号______________ABOMN为＿＿＿14＿＿＿；14、某公园草坪上有一扇形小径（如图），扇形半径为40m，中心角为120。甲由扇形中心O出发沿OA以每秒2米的速度向A快走，同时乙从A出发，沿扇形弧以每秒43米的速度向B慢跑。记(020)tt秒时甲、乙两人所在位置分别为N、M，||()MNft，通过计算(5)f、(10)f、(15)f判断下列说法是否正确。（1）当MNOA时，函数()ft取最小值；（2）函数()yft在区间[10,15]上是增函数；（3）若0()ft最小，则0[0,10]t；（4）()()40gtft在[0,20]上至少有两个零点。其中正确的判断序号是＿＿（2）、（3）、（4）＿＿（把你认为正确的判断序号都填上）。二、选择题：（每小题5分，满分20分）15、“2p”是“关于x的实系数方程210xpx没有实数根”的（A）A、必要不充分条件；B、充分不必要条件；C、充分必要条件；D、既不充分又不必要条件。16、设是平面，,,lmn是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（C）A、若,,,,mnlmlnl则苘；B、若,,,//mnlnlm则Ü；C、若//,,lmmn，则//ln；D、若,,//lmlnnm则。17、设1F、2F分别是椭圆222:1(01)yExbb的左、右焦点，过1F的直线l与E相交于A、B两点，且2||AF、||AB、2||BF成等差数列，则||AB的长为（C）A、32；B、1；C、34；D、35。18、()fx是定义在R上周期为1的周期函数，当[0,1)x时，()1xfxx。直线yx与函数()yfx的图像在y轴右边交点的横坐标从小到大组成数列{}na。则（A）A、11nnaa对于*nN恒成立；B、11nnaa对于*nN恒成立；C、11nnaa对于*nN恒成立；D、1nnaa与1的大小关系不确定。三、解答题：（共5大题，满分74分，解题要有必要的步骤）19、（本题满分12分，第（1）题6分，第（2）题6分）已知函数23()3sinsincos()2fxxxxxR。（1）求函数()fx的最小正周期T与单调递增区间；（2）在△ABC中，若ab且1()()2fAfB，求角C的值。解：（1）313()(1cos2)sin2sin(2)2223fxxxx2分所以周期T3分由2[2,2]322xkk，得5[,]1212xkk即函数()fx单调递增区间为5[,]()1212kkkZ。6分（2）A、B为三角形内角，所以A、(0,)B，由1()2fx且(0,)x得：1sin(2)324xx或712x，8分又ab，所以AB，则7,124AB10分所以()6CAB12分20、（本题满分14分，第（1）题7分，第（2）题7分）如图：1111ABCDABCD是棱长为2的正方体，面对角线1AD上的点P，满足113APAD，过P作PM平面ABCD交AD于点M，过M作MNBD于N。（1）求PN的长；（2）求异面直线PN与11AC所成角的大小。解：（1）由题知：PMMN，则△PMN是直角三角形。1分112233APAD，则23PMAM，3分43MD，则223MN5分A1B1C1D1ABCDPMN22233PNPMMN7分（2）因为11//ACAC，ACBD，则//ACMN。即有11//ACMN，所以PNM即为异面直线PN与11AC所成的角。10分在直角三角形AMN中2223PMAP，233PN，3sin3PNM，则3arcsin3PNM。所以直线PN与11AC所成的角为3arcsin3。14分21、（本题满分14分，第（1）题7分，第（2）题7分）已知函数21()()fxaxaRx。（1）判断函数()fx的奇偶性，并说明理由；（2）若1()24fxa在1(0,]2x上恒成立，求a的取值范围。解（1）21()fxaxx，0a时，1()(0)fxxx1分11()()fxfxxx所以()fx是奇函数3分0a时，(1)1,(1)1fafa，(1)(1)20(1)(1)ffaff()fx不是奇函数；(1)(1)2(1)(1)ffff，()fx不是偶函数。6分综上知：当0a时，()fx是非奇非偶函数；当0a时，()fx是奇函数。7分（2）0b时，21()fxaxx，2124aaxx在1(0,]2x上恒成立。即：12()111112()()2()()2222xaxxaxxxx9分由1110,222xx，则21()2axx在1(0,]2x上恒成立。11分当1(0,]2x时，11()22xx，所以241()2xx，13分即4a。14分22、（本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题①6分，②6分）抛物线22(0)ypxp的焦点F为圆C：22430xyx的圆心。（1）求抛物线的方程与其准线方程；（2）直线l与圆C相切，交抛物线于A、B两点：①若线段AB中点的纵坐标为43，求直线l的方程；②若直线l过抛物线准线与x轴的交点，求△FAB的面积。解（1）由22430xyx得：22(2)1xy，圆心(2,0)C，即(2,0)F。所以抛物线方程为28yx3分准线方程为2x。4分（2）①设l：xmyt，由l与圆C相切得2|2|11tm（*）6分再由28xmytyx得2880ymyt设1122(,),(,)AxyBxy，则12128,8yymyyt8分由题意：12432yy，得3m代入（*）得：0t或4t所以直线l方程为：30xy或340xy。10分②由题意：直线l过(2,0)K，则2t，12160yy，所以A、B在x轴同侧又12121211||||||||||||2||||||2||22ABFBFKAFKSSSKFyKFyyyyy13分2212122()426464yyyym当2t时，215m，代入得：1614ABFS16分23、（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题7分，第（3）题7分）若数列{}na的每一项都不等于零，且对于任意的*nN，都有2nnaqa（q为常数），则称数列{}na为“类等比数列”。已知数列{}nb满足：1(,0)bbbRb，对于任意的*nN，都有112nnnbb。（1）求证：数列{}nb是“类等比数列”；（2）若{}nb是单调递增数列，求实数b的取值范围；（3）当2b时，求221limnnnSS的值。解：（1）因为112nnnbb，所以2122nnnbb，21212nnnnnnbbbbbb，所以数列{}nb是“类等比数列”。4分（2）112,4bbbb，所以24bb5分当n为奇数时，设*21()nkkN，则1212knkbbb，当n是偶数时，设*2()nkkN，则112422kknkbbbb。7分因为{}nb递增，所以2122122kkkkbbbb8分即：1212248222kkkkbbbbbbbb，解得：22b。11分（3）当2b时，122,22bb。则2*12221()22nnnnkbkNnk。13分当n为偶数时，21321242()()32(21)knkkkSSbbbbbb当n为奇数时，1212232(21)222232kkknkkkSSSb。即：2*1232(21)2()223221nnnnkSkNnk。15分212132(21)3limlim22232nnnnnnSS18分