全国初中数学竞赛辅导---生活中的数学

生活中的数学(二)——地板砖上的数学随着人们生活水平的提高，很多家庭都装修房子，其中铺地板砖就是一项重要的美化工作．当你看到地板砖展铺成美丽的图案时，你是否想到展铺这美丽图案的数学原理呢？如果你注意到的话，可能会对下面的简单分析发生兴趣．地板砖展铺的图形，一般都是用几种全等的平面图形展铺开来的，有时用由直线构成的多边形组成的图案，有时用由曲线组成的图案，千变万化．但是作为基础还是用平面多边形展铺平面．有时虽然有曲线，却常常是由多边形和圆作适当变化而得到的．例如，一个由正方形展铺的平面图案(图1－77(a))，如果对正方形用圆弧做一些变化(图1－77(b))，那么把以上两个图形结合起来设计，就可由比较单调的正方形图案，变化曲线形成花纹图案了(图1－77(c))．由于多边形是构成地板砖展铺复杂图形的基础，因此，下面我们对利用多边形展铺平面图形做些简要分析．例1怎样以三角形为基础展铺平面图案．分析与解三角形是多边形中最简单的图形，如果用三角形为基本图形来展铺平面图案，那么就要考虑三角形的特点．由于三角形的三个内角和为180°，所以要把三角形的三个角集中到一起，就组成了一个平角．如果要在平面上一个点的周围集中三角形的角，那么必须使这些角的和为两个平角．因此，若把图1－78中的三角形的三个内角集中在一起，并进行轴对称变换或中心对称变换，就可以得到集中于一点的六个角，它们的和为360°，刚好覆盖上这一点周围的平面．变换的方法见图1－79．在中心对称的情况下，三角形不翻折，在轴对称的情况下，三角形要翻折．如果把三角形正、反两面涂上颜色，那么通过对称变换，正、反两面就会明显地反映出来了．由上面的分析可知，用三角形为基本图形展铺平面图案，共有以下四种情况，如图1－80．例2怎样以四边形为基础展铺平面图案？分析与解由于四边形内角和为360°，所以，任何四边形都可以作为基本图形来展铺平面图案．图1－81中的(a)，(b)，(C)，(d)分别是以矩形、菱形、梯形、一般四边形为基本图形的平面展铺图案．例3怎样以正多边形为基本图形展铺平面图案？分析与解用正多边形为基本图形展铺平面图案，集中于一点的周围的正多边形的各个角的和应是360°．例如，正五边形一个内角为正十边形一个内角为如果把两个正五边形的内角与一个正十边形的内角加起来，则其和为2×108°+144°=360°．但是它们并不能用来展铺平面．如果用同种的正n边形来展铺平面图案，在一个顶点周围集中了m个正n边形的角．由于这些角的和应为360°，所以以下等式成立因为m，n都是正整数，并且m＞2，n＞2．所以m-2，n-2也都必定是正整数．所以当n-2=1，m-2=4时，则n=3，m=6；当n-2=2，m-2=2时，则n=4，m=4；当n-2=4，m-2=1时，则n=6，m=3．这就证明了只用一种正多边形展铺平面图案，只存在三种情况：(1)由6个正三角形拼展，我们用符号(3，3，3，3，3，3)来表示(见图1－82)．(2)由4个正方形拼展，我们用符号(4，4，4，4)来表示(见图1－83)．(3)由3个正六边形来拼展，我们用符号(6，6，6)来表示(见图1－84)．如果用两种正多边形来拼展平面图案，那么就有以下五种情况：(3，3，3，4，4)，(3，3，3，3，6)，(3，3，6，6)，(3，12，12)以及(4，8，8)．这五种情况中，(3，3，3，4，4)又可有两种不同的拼展方法，参看下面六种拼展图形(图1－85)．用三种正多边形展拼平面图形就比较难设计了．下面举出两例供同学们思考(图1－86)．有兴趣的同学请自己构想出一两个例子．练习二十三1．试用三角形和梯形这两种多边形拼展平面图案．2．试用形如图1－87的图形拼展平面图案．3．试用边长为1的正三角形、边长为1的正方形和两腰为1、夹角为120°的等腰三角形拼展平面图案．4．试用圆弧和多边形(多边形可以用圆弧割补)设计一种平面图案．5．试用一个正方形，仿照图1－76(a)，(b)，(c)的变化方式，设计一种平面图案．