历年(95-10)全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(2)

历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(2)填空题(26道题)1．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．1995年全国初中数学联赛试题答案:15O详解：与AB2＝AB2＋AC2②联立，可推出而式①、③表明，AB、AC是二次方程改为求∠CAB之后，思路更宽一些．如，由2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，则点N到边BC的距离等于______．1996年全国初中数学联赛试题答案:32a3．如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB＇C＇D＇的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是______．1996年全国初中数学联赛试题答案:2-34、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=___________。1998年全国数学联赛试卷答案:60/13详解：如图，过A作AG⊥BD于G，∵“等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高”．∴PE+PF=AG．∵AD=12，AB=5，∴BD=13．5、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。1998年全国数学联赛试卷答案:49a+b详解：当圆环为3个时，链长为当圆环为50个时，链长为6．设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是．1999年全国初中数学竞赛答案:7、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，BC＝6，∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD的面积等于________。2000全国初中数学竞赛试题答案:：66＋6详解：作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F，由BC＝6，∠BCD＝45°，得AE＝BF＝FC＝6。由∠BAD＝120°，得∠DAE＝30°，因为AE＝6得DE＝2，AB＝EF＝8，DC＝2＋8＋6＝14＋2，∴。8、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。2000全国初中数学竞赛试题答案:：2.4米详解:作PQ⊥BD于Q，设BQ＝米，QD＝米，PQ＝米，由AB∥PQ∥CD，得及，两式相加得，由此得米。即点P离地面的高度为2.4米。（注：由上述解法知，AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。）9．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45º，∠A=60ºCD=4m，BC=2264m，则电线杆AB的长为_______m.EADBC2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题答案:26.详解:如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F.因为∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，所以CF=DF=22m，EF=DFtan60°=62（m）.因为3330tanBEAB，所以2633BEAB（m）_A_B_E_C_D_F10．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，60BAD，则EDC（度）.2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题答案:30°详解:设2CAD，由AB=AC知60)260180(21B，6060180BADB，由AD=AE知，90ADE，所以30180ADBADEEDC.11．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC(BCAD)，90D，BC=CD=12,45ABE，若AE=10，则CE的长为.2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题答案:4或6详解:延长DA至M，使BM⊥BE.过B作BG⊥AM，G为垂足.易知四边形BCDG为正方形，所以BC=BG.又GBMCBE，∴Rt△BEC≌Rt△BMG.∴BM=BE，45ABMABE，∴△ABE≌△ABM，AM=AE=10.设CE=x，则AG=x10，AD=xx2)10(12，DE=x12.在Rt△ADE中，222DEADAE，∴22)12()2(100xx，即024102xx，解之，得41x，62x.故CE的长为4或6.12.在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）.若现在时间恰好是12点整，则经过＿＿＿＿秒钟后，△OAB的面积第一次达到最大.2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题答案:15155913.已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD＝4，DC＝1，AE＝5，EC＝2.连结AD和BE，它们相交于点P.过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q，R，则△PQR的面积与△ABC的的面积之比为＿＿＿＿.2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题答案:400/108914．如图，面积为cba的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，且b不能被任何质数的平方整除，则bca的值等于．2006年全国初中数学竞赛试题答案:320．详解:设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则342m，由△ADG∽△ABC，可得mxmmx2323，解得mx)332(于是48328)332(222mx，由题意，28a，3b，48c，所以320bca．15．如图，在直角三角形ABC中，，CA＝4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是．“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛答案:4．详解:如图，设AC与BP相交于点D，点D关于圆心O的对称点记为点E，线段BP把图形APCB分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP的面积，即△BOP面积的两倍．而．因此，这两部分面积之差的绝对值是4．16．如图，，则n＝．“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛答案:6．详解:如图，设AF与BG相交于点Q，则，于是90ACB1122222BPOSPOCO90ABCDEFGnAQGADGABCDEFGBCEFAQGBCEFBQF．所以，n＝6．17．按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为。2007年浙江省初中数学竞赛试题答案:20218．在锐角三角形ABC中，∠A＝50°，AB＞BC，则∠B的取值范围是。2007年浙江省初中数学竞赛试题54069019．设正△ABC的边长为a，将△ABC绕它的中心（正三三角形外接圆的圆心）旋转60°得到对应的△A′B′C′，则A，B′两点间的距离等于。2007年浙江省初中数学竞赛试题20．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为______．“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题答案:921.△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为______．“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题答案:163；22．如图，正方形ABCD的边长为1，为BD所在直线上的两点，且5AM，135MAN，则四边形AMCN的面积为______2008年全国初中数学联合竞赛试题答案:5/2详解:设正方形的中心为O，连AO，则AOBD，22AOOB,2222232(5)()22MOAMAO,∴2MBMOOB.又135ABMNDA，13590NADMANDABMABMAB45MABAMB，所以△ADN∽△MBA，故ADDNMBBA，从而12122ADDNBAMB.根据对称性可知，四边形的面积11225222(22)22222MANSSMNAO△.23．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为______.“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题答案:2mn24．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则AHAB的值为．“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题,MNABCDAMCN答案:1/3详解:如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF．由题设知13ACAD，13ABAE，在△FHA和△EFA中，90EFAFHA，FAHEAF所以Rt△FHA∽Rt△EFA，AHAFAFAE.而AFAB，所以AHAB13.25．如图，在△ABC中，CD是高，CE为ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于．“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题答案:6027．详解:如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25．故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且90ACB．作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由1452ECFACB，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以EFBFACBC，即201520xx，解得607x．所以60227CEx．26．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则AEAD．“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题答案:215详解:见题图，设,FCmAFn．因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以2ABAFAC．又因为FC＝DC＝AB，所以2()mnnm，即2()10nnmm，解得512nm，或512nm（舍去）．又Rt△AFE∽Rt△CFB，所以AEAEAFnADBCFCm512，即AEAD=512．