静电场(二）竞赛辅导

静电场（二）一、电势、电势差、电势能1、电势：把一电荷从P点移到参考点P0时电场力所做的功W与该电荷电量q的比值，即U=qW参考点即电势为零的点，通常取无穷远或大地为参考点。（相对的）和场强一样，电势是属于场本身的物理量。W则为电荷的电势能。2、电势差①定义qWUABBAAB电场力对电荷做功WAB=q（UA－UB）=qUAB②在匀强电场中电势差与电场强度的关系③电势高低的判断④等势面⑤几种特殊的等势面3、电势能（电场力做功与电势能变化的关系）例1、如右图所示，Q1、Q2为两个正点电荷，以Q1、Q2连线的中心点O为圆心作一直径d等于Q1Q2连线长的半圆，测得P点电势低于此半圆上其它各点的电势，设P与Q1连线跟Q1、Q2连线夹角为θ，求θ。变化：在匀强电场中，有一半圆，+q从A点出发，在所有与半圆相交的各点中，到达B点的动能最大，则电场方向如何？4、几种典型电场的电势a、点电荷以无穷远为参考点，推导出U=krQb、电势的叠加由于电势的是标量，所以电势的叠加服从代数加法。很显然，有了点电荷电势的表达式和叠加原理，我们可以求出任何电场的电势分布。C、均匀带电环，带电量为Q，如图7-4求垂直环面轴线上的某点P的电势：rKQp，其中取无穷远处为零电势。D、无限长直导线，电荷线密度为λ，会推导出rRKUABln2例2：无限长的均匀带电棒，其电荷线密度为λ，质量为m的q点电荷由静止释放，沿垂直于棒方向距棒为a的A点到距棒为b的B点时的速度多大？Q1Q2Pθ图7-4ArBRAaBb例3、电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图7-12所示。P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为UP，试求Q点的电势UQ。〖解说〗这又是一个填补法的应用。将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为q的电荷，如图7-12所示。从电量的角度看，右半球面可以看作不存在，故这时P、Q的电势不会有任何改变。而换一个角度看，P、Q的电势可以看成是两者的叠加：①带电量为2q的完整球面；②带电量为－q的半球面。考查P点，UP=kRq2+U半球面其中U半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反，即U半球面=－UQ以上的两个关系已经足以解题了。〖答〗UQ=kRq2－UP。【思考】如图7-13所示，A、B两点相距2L，圆弧DCO是以B为圆心、L为半径的半圆。A处放有电量为q的电荷，B处放有电量为－q的点电荷。试问：（1）将单位正电荷从O点沿DCO移到D点，电场力对它做了多少功？（2）将单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处去，电场力对它做多少功？【模型分析】电势叠加和关系WAB=q（UA－UB）=qUAB的基本应用。UO=kLq+kLq=0UD=kL3q+kLq=－L3kq2U∞=0再用功与电势的关系即可。【答案】（1）L3kq2；（2）L3kq2。【相关应用】在不计重力空间，有A、B两个带电小球，电量分别为q1和q2，质量分别为m1和m2，被固定在相距L的两点。试问：（1）若解除A球的固定，它能获得的最大动能是多少？（2）若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？（3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少？【解说】第（1）问甚间；第（2）问在能量方面类比反冲装置的能量计算，另启用动量守恒关系；第（3）问是在前两问基础上得出的必然结论…（这里就回到了一个基本的观念斧正：势能是属于场和场中物体的系统，而非单纯属于场中物体——这在过去一直是被忽视的。在两个点电荷的环境中，我们通常说“两个点电荷的势能”是多少。）【答】（1）krqq21；（2）Ek1=212mmmkrqq21，Ek2=211mmmkrqq21；（3）krqq21。〖思考〗设三个点电荷的电量分别为q1、q2和q3，两两相距为r12、r23和r31，则这个点电荷系统的静电势能是多少？〖解〗略。〖答〗k（1221rqq+2332rqq+3113rqq）。〖反馈应用〗如图7-14所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m、电量均为q，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。〖解〗设剪断的是1、3之间的绳子，动力学分析易知，2球获得最大动能时，1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度。设2球的速度为v，1球和3球的速度为v′，则动量关系mv+2mv′=0能量关系3kLq2=2kLq2+kL2q2+21mv2+212m2v解以上两式即可的v值。〖答〗v=qmL3k2。E、均匀带电球体内、外电势（球体半径为R）以无穷远为参考点，U外=krQ，U内=kRQF、均匀带电球体的电势（球半径为R，P点到球心的距离为r）球内：32223RKQrRKQp球外：rKQp二、静电场中的导体静电感应→静电平衡→静电屏蔽1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义——a、导体内部的合场强．．．为零；表面的合场强．．．不为零且一般各处不等，表面的合场强．．．方向总是垂直导体表面。b、导体是等势体，表面是等势面。c、导体内部没有净电荷；孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。2、静电屏蔽导体壳（网罩）不接地时，可以实现外部对内部的屏蔽，但不能实现内部对外部的屏蔽；导体壳（网罩）接地后，既可实现外部对内部的屏蔽，也可实现内部对外部的屏蔽。例4、如图7-9所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R1和R2，带有净电量+q，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－Q，外壁的电荷量为+Q+q，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以…【答案】Uo=krQ－k1RQ+k2RqQ。〖思考〗如图7-10所示，两个极薄的同心导体球壳A和B，半径分别为RA和RB，现让A壳接地，而在B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷。试求：（1）A球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电势。〖解说〗这是一个更为复杂的静电感应情形，B壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量），A壳的情形未画出（有净电量），它们的感应电荷分布都是不均匀的。此外，我们还要用到一个重要的常识：接地导体（A壳）的电势为零。但值得注意的是，这里的“为零”是一个合效．．果．，它是点电荷q、A壳、B壳（带同样电荷时）单独存在．．．．时．在A中形成的的电势的代数和，所以，当我们以球心O点为对象，有UO=kdq+kAARQ+kBBRQ=0QB应指B球壳上的净电荷量，故QB=0所以QA=－dRAq☆学员讨论：A壳的各处电势均为零，我们的方程能不能针对A壳表面上的某点去列？（答：不能，非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！）基于刚才的讨论，求B的电势时也只能求B的球心的电势（独立的B壳是等势体，球心电势即为所求）——UB=kdq+kBARQ〖答〗（1）QA=－dRAq；（2）UB=kdq(1－BARR)。例5、（电像法）一块无限大的导体板，左侧接地，在右侧距板d的A处放置一个负电荷-q，求静电平衡后：（1）板上感应电荷在导体内一点P产生的场强；（2）感应电荷在导体外一点P1产生的场强；（3）证明导体表面附近的合场强垂直于导体表面；（4）求-q所受的库仑力；（5）若切断接地线后，将+Q放在导体板上，+Q将如何分布？d-qA典型的电像有：平面电像；球面电像思考：一半径为R的导体球与大地相连，在距球心O的距离为l的A处放一点电荷q，试确定金属球上感应电荷的电量。三、电容1、电容器孤立导体电容器→一般电容器；电容器的作用2、电容a、定义式C=UQb、决定式。决定电容器电容的因素是：导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类，所以不同电容器有不同的电容⑴推导平行板电容器C=kd4Sr=dS，其中ε为绝对介电常数（真空中ε0=k41，其它介质中ε=k41），εr则为相对介电常数，εr=0。⑵推导球形电容器：C=)RR(kRR1221r⑶柱形电容器：C=12rRRlnk2L3、电容器的连接a、串联C1=1C1+2C1+3C1+…+nC1b、并联C=C1+C2+C3+…+Cn例6、由许多个电容为C的电容器组成一个如图7-17所示的多级网络，试问：（1）在最后一级的右边并联一个多大电容C′，可使整个网络的A、B两端电容也为C′？（2）不接C′，但无限地增加网络的级数，整个网络A、B两端的总电容是多少？【模型分析】这是一个练习电容电路lOAq简化基本事例。第（1）问中，未给出具体级数，一般结论应适用特殊情形：令级数为1，于是CC1+C1=C1解C′即可。第（2）问中，因为“无限”，所以“无限加一级后仍为无限”，不难得出方程总CC1+C1=总C1【答案】（1）215C；（2）215C。例7、三个相同的电容器联接成电路，1电容器电量为Q，上板带正电，下板带负电荷，2、3两电容器原来带电，用导线将ab相连，稳定后1、2、3电容器各带多少电量？4、电容器的能量用图7-3表征电容器的充电过程，“搬运”电荷做功W就是图中阴影的面积，这也就是电容器的储能E，所以E=21q0U0=21C20U=21Cq20电场的能量。电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场？正确答案是后者，因此，我们可以将电容器的能量用场强E表示。对平行板电容器E总=k8SdE2认为电场能均匀分布在电场中，则单位体积的电场储能w=k81E2。而且，这以结论适用于非匀强电场。123abdc