光学方法

奥赛金牌题典——高中物理——第八章光学方法修改内容A类题：（更换P。299：A3题、增加A6题）A3.（1）用折射率为2的透明物质做成内半径、外半径分别为a、b的空心球，b远大于a，内表面涂上能完全吸光的物质。问当一束平行光射向此球时被吸收掉的光束横截面积为多大？（注意：被吸收掉的光束的横截面积，指的是原来光束的横截面积，不考虑透明物质的吸收和外表面的反射。）图8-7所示是经过球心的截面图。（2）如果外半径b趋于a时，第（1）问中的答案还能成立？为什么？分析：在物理学中存在大量的、临界问题，以原理、定理或定律为依据，直接从临界状态和相应的临界量入手，求出研究问题的特殊规律和特殊解；然后，以此对一般情况进行分析、讨论和推理，即采用从特殊到一般的推理方法称为临界法。（1）如图8-8所示，不被a球吸收的极限光线是与a球相切的光线AB，因此被吸收掉的光束横截面积应该是以R为半径的一个圆盘，面积为2RS。利用折射定律和相关几何关系式不难求出R而得解。（2）在b趋于a的过程中，当b减小到一定程度时，入射到b球面上的所有光线折射后可能都会与a球面相交，此时如果b再度减小，则依据第（1）问计算出的结果就不能成立。解：（1）如图8-8所示，CO为穿过球心的光线，与CO相距为R的光线在b球面折射后折射光线AB恰好与a球相切，则有ibRsin由折射定律rnisinsin所以rnbRsin又因为barsin，2n所以anaR2ABCDEFORRabiir图8-8abABO90ir图8-9ba图8-7222aRS即被吸收掉的光束横截面积为22a。（2）在b趋于a达到一定程度时，从第（1）问的结果可知，当b减小到anab2时，222ab，即入射到此空心球上的全部光线都将被吸收掉，此时极限光线的入射角90i，而R=b，如图8-9所示。如果b再减小，则入射到此空心球上的全部光线仍将被吸收掉，此时极限入射光线（即入射角90i）的折射线并不与内球表面相切，所以被吸收光束截面积为22a的结论不再成立。被吸收光束截面积此时为222ab，参见图8-10所示。讨论：（1）本题第（1）问可以改为求经过空心球折射后的光束在球右边形成的出射光束的截面积大小是多少的问题。从左边平行入射到空心球的光束只有AE区域间的光线经外球面折射后能够从右半球折射出来，如图8-8所示。与a球相切的光线AB光b球于D，过E点的光线入射角为90，因折射率为2，所以该折射光线的折射角为45，即折射光线刚好交于b球于F点。设DOF，D到直线OF的距离为R，且sinbR，而出射光束截面积2RS。由几何关系易知rr2，即)arcsin(arcsin2nbaba，所以可求出S。（2）如果把问题改为空心球的内表面没有涂上吸光物质，而要求进入球内空心部分的光束在球壳外的截面积大小是多少。因为距中心光线CO越远的光线，在两球面上的入射角越大，因此抓住经外球面折射后的光线在内球面上的入射角刚好等于光从介质进入空气的临界角这条特殊光线来考虑，如图8-11所示。设角为光由介质射入空气的临界角，在ΔABO中，有nbbar1)sin(sin，又由rnisinsin，由图可知ibADsin。利用以上几个关系式可得aAD，故所求射入球ab90ir图8-10ABCDOiri图8-11内空心部分的光束在球外的截面积22aADS点评：从本例的解答中可看出，正确分析和作出边界（临界）光线是解决问题的关键。边界（临界）光线是随着具体问题的不同而改变的，要注意针对具体问题灵活把握。A6.凸透镜焦距为20cm，一点光源以速度40cm/s沿透镜主轴远离透镜，求当点光源距透镜为60cm时，像点的移动速度。分析：由凸透镜的成像规律可以知道，物体到透镜心的距离即物距与像到透镜光心的距离遵守透镜成像公式。通过透镜成像公式可以推导出像距在单位时间内的变化量与物距在单位时间内的变化量之间的定量关系，进而得出像点的速度。解：设某一时刻此点光源成像的物距为u,像距为,则由透镜成像公式fu111有fuuf当点光源由上述位置移动一个很小的距离u时，其成像的物距变为uu，令其对应的像距移动，则其对应的像距变为，又依成像公式有fuu111所以fuufuu)(fuufufuu11)(由于u很小，故有fuu1因此fuufuu111代入上式得fuufufuu1)(22)()(fuufufufuuffu所以)(fuuffuufufufuuffu22)()(222)()(fuufuf又由于u很小，故有2)(uf«uf2故从前式分子中略去2)(uf，便得ufuf22)(由于u和分别是同一时间内物点和像点的位移，它们分别与各自对应的移动速度成比例，故有像的移动速度22)(fuf物的移动速度。代入数据，即得到本题所求的像的移动速度为110scm，其方向是沿主轴向靠拢透镜方向移动。点评：要注意上面所得出的速度关系式中负号的物理意义，它表示物点移动的速度与像点的移动的速度的代数值相反。这个关系是根据成像公式而导出的，所以其中数值的符号应根据成像公式中的符号法则来决定。例如，当实物的速度为正值（表示物距逐渐增大，即物向远离透镜方向移动）时，像的速度为负值（表示像距的代数值逐渐减小。即对于实像时，像点将向透镜方向移动，此时两速度的方向相同；对于虚像时，像点将向远离透镜方向移动，此时两速度的方向仍然相同）。这里我们再次看到；要深刻地理解物理公式中的文字和符号的物理意义，也就是要弄清这些文字和符号在物理学中的“来历”，由此去认识它们在物理学中表述的意义，而不能无依据地凭主观想象对其作出解释。B类题（修改内容：替换P。304：B4、B9；增加：B11、B12、B13）B4.将焦距f=50cm的凸透镜切去宽度为a(af）的中央部分，再将两半粘合如图8-17所示，在粘合透镜一侧的中央对称轴线（图中的虚线）上置一波长λ=6000Å的点光源，在透镜的另一侧放置光屏来观察干涉条纹，设条纹间距Δx=0.5mm，且当沿上述中央对称轴线移动光屏时干涉条纹的间距不变，试求a等于多少？B9.声音沿空气传播，由于气温不同，结果沿着半径为25km的圆弧，从A地传到相距14km的B地。已知水平线AB的气温是18℃，声速为342m/s，声速随温度的变化v=vA+0.6Δt.已知这一地区空气温度在同一高度是相同的。试求出“声道”最高点的气温及气温随高度变化的规律。声波的折射规律与光波相同。B11.有一根玻璃管，它的内、外半径分别为r和R，充满发光液，在射线的影响下，发光液会发出绿光。对于绿光，玻璃和液体的折射率分别为n1和n2。如果有人从外表面观察，玻璃管的厚度似乎为零，请问比值r/R必须满足何条件？B12.半径R1的不透明黑球，外面包着一半径R2的同心透明介质球层，其折射率n=1.35，R2/R1=1.5。球层外表面的右半部分为磨沙面。现用平行光从左向右照射到球层上。已知在题给条件下，在图面内能达到磨沙面上的各光线，随着入射角的增大其折射线与磨沙面的交点是朝一个方向变动的，即没有往返的变动。（1）试求磨沙面上被照到的范围是什么图形？（2）若其他条件不变，但介质球层的折射率从n=1.35逐步增大到n≥1.5的各值，试定性说出磨沙面上被照到的范围是如何变化的？aa/2图8-17B13.如图8-21所示，把一个焦距为40cm的凸透镜放在电场强度为2000V/m的匀强电场中，主光轴与电场线平行。在透镜表面中心，有一个很小的带电小球，质量为1g，带电量为-5×10-7C，小球以初速v0=2m/s沿主轴离开透镜光心处。不计小球重力，求：（1）小球在透镜的另一侧生成的实像到透镜的距离在什么范围内变化？（2）小球开始运动的第3秒内像移动的距离。B类题解答或提示B4。答：0.6mm。提示：方法一：透镜切去中央部分后粘合起来使用，相当于两个透镜，这两透镜的焦距都是原透镜的焦距且共焦平面，它们的主光轴互相平行，其间相距为a，今设点光源与透镜的距离为u，当fu或fu时，点光源都会通过此两透镜分别在不同的空间位置生成一个像（同为实像或同为虚像），而这两个像就相当于两个相干光源，由此两像来的光就会互相干涉，若以光屏接收，则在光屏上可观察到干涉条纹，若将光屏沿光轴移动时，由于光屏与两相干光源的距离发生变化，则干涉条纹的间距也会随之发生变化，这与题述的情况不相符。若fu，则点光源发出的光经两透镜折射后形成如图8-24所示的平行光束，此两光束在其相交的区域内互相干涉，这种情况下的干涉条纹间距是不随光屏与透镜的距离变化而变化的，这就是题述的情况。设图8-24中两平行光束的夹角为2，由于点光源S与透镜的距离为f，且它偏离上下两块透镜的主光轴的距离均为2/a，由几何光学的关系不难得出fatg2图中透镜右侧的棱形区域为两平行光束的相交区域，在此区域内可以观察到干涉条纹。S图8-242图8-25Emoq0v图8-21下面利用图8-25来分析垂直于透镜主光轴方向的光屏上的干涉条纹间距x。图中，设两束分别沿简头所示方向传播的平行光束之间的夹角为2，每束光与透镜主光轴夹角均为，以虚实相间的线条分别表示两列波的波谷和波峰（如以虚线表示波谷，实线表示波峰），则图中两相邻实线（或相邻虚线）之间的距离为一个波长，实线与实线和虚线与虚线相交处为干涉加强处，实线与虚线相交处则为干涉削弱处，可见图中一个最小的棱形的上下两顶点之间的距离即为x。图8-26表示一个这样的棱形ABCD，其中xAC，2/AE，而从图中的几何关系有sinACAE所以sin2x由于d«f，故角很小，则有近似关系fatg2sin所以xfam310105.050.0106000mm6.0方法二：设想点光源S位于透镜焦平面以内，当它无限地向焦平面靠近时，它对应的虚像也就离透镜越来越远，因此我们可以把S位于焦平面的情况看成为上述情况的极限，此时经透镜射出的平行光束就好像是由离透镜无限远处的点光源（即S的虚像点）射来的光一样。这样，便可把本题所述的干涉现象看成是由离光屏很远的两点光源（虚光源）发出的光在光屏上发生的干涉，显然这相当于杨氏干涉，根据杨氏干涉的条纹间距公式dlx和本题情况下应有的比例关系afdl可得到xfamm6.0ABCDE图8-26B9。答：410C、气温随高度变化的规律为tM=yiRvtAAAsin6.0提示：声波速度与介质折射率乘积相同2211nn，把空气层看作许多与地面平行的薄层。212211,,sinsiniiii指声波在各分层空气中传播的入射角。在最高点90mi，如图答8-33，图中有RRiA222/1sin，lAB，因此最高点声速AnmMiisinsin，代入数据，smvM/356最高温度为：CvvttAMAM0416.0在声道上任取一点D，高度为y,sin1sinsin,sinsin,0AAAADDADiRiiiiRyCDEi所以气温随高度变化的规律为：6.0ADAMvvtt=yiRvtAAAsin6.0B11。答：11nRr提示：如图8-35所示，设O为圆心，某一条光线自管内壁之A点射向外壁之B点，则AOB中，由正弦定理有180sinsinOBOA即sinsinRr（※）（1）若12nn，则的最大值可取90max，此时由（※）式则有Rrsin此时若要有光线能沿管壁切线方向射出，则应不小于临界角C，即应有11sinsinnRrCDxMxD