高中物理竞赛——静电场习题

高中物理竞赛——静电场习题一、场强和电场力【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。如图7-5所示，在球壳内取一点P，以P为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元ΔS1和ΔS2，设球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在P点激发的场强分别为ΔE1=k211rSΔE2=k222rS为了弄清ΔE1和ΔE2的大小关系，引进锥体顶部的立体角ΔΩ，显然211rcosS=ΔΩ=222rcosS所以ΔE1=kcos，ΔE2=kcos，即：ΔE1=ΔE2，而它们的方向是相反的，故在P点激发的合场强为零。同理，其它各个相对的面元ΔS3和ΔS4、ΔS5和ΔS6…激发的合场强均为零。原命题得证。【模型变换】半径为R的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。【解析】如图7-6所示，在球面上的P处取一极小的面元ΔS，它在球心O点激发的场强大小为ΔE=k2RS，方向由P指向O点。无穷多个这样的面元激发的场强大小和ΔS激发的完全相同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见——由于由于在x方向、y方向上的对称性，ΣixE=ΣiyE=0，最后的ΣE=ΣEz，所以先求ΔEz=ΔEcosθ=k2RcosS，而且ΔScosθ为面元在xoy平面的投影，设为ΔS′所以ΣEz=2RkΣΔS′而ΣΔS′=πR2【答案】E=kπσ，方向垂直边界线所在的平面。〖学员思考〗如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？〖推荐解法〗将半球面看成4个81球面，每个81球面在x、y、z三个方向上分量均为41kπσ，能够对称抵消的将是y、z两个方向上的分量，因此ΣE=ΣEx…〖答案〗大小为kπσ，方向沿x轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。【物理情形2】有一个均匀的带电球体，球心在O点，半径为R，电荷体密度为ρ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O′点，半径为R′，OO=a，如图7-7所示，试求空腔中各点的场强。【模型分析】这里涉及两个知识的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理，这里具体用到的是球体内部的结论，即“剥皮法则”），二是填补法。将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合，对于空腔中任意一点P，设OP=r1，PO=r2，则大球激发的场强为E1=k2131rr34=34kρπr1，方向由O指向P“小球”激发的场强为E2=k2232rr34=34kρπr2，方向由P指向O′E1和E2的矢量合成遵从平行四边形法则，ΣE的方向如图。又由于矢量三角形PE1ΣE和空间位置三角形OPO′是相似的，ΣE的大小和方向就不难确定了。【答案】恒为34kρπa，方向均沿O→O′，空腔里的电场是匀强电场。〖学员思考〗如果在模型2中的OO′连线上O′一侧距离O为b（b＞R）的地方放一个电量为q的点电荷，它受到的电场力将为多大？〖解说〗上面解法的按部就班应用…〖答〗34πkρq〔23bR−23)ab(R〕。二、电势、电量与电场力的功【物理情形1】如图7-8所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点，PO=r，以无穷远为参考点，试求P点的电势UP。【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段ΔL，它在P点形成的电势ΔU=k22rRL环共有LR2段，各段在P点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。【答案】UP=22rRRk2〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量Q，则UP的结论为多少？如果这个总电量的分布不是均匀的，结论会改变吗？〖答〗UP=22rRkQ；结论不会改变。〖再思考〗将环换成半径为R的薄球壳，总电量仍为Q，试问：（1）当电量均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？〖解说〗（1）球心电势的求解从略；球内任一点的求解参看图7-5ΔU1=k11rS=k1r·cosr21=kσΔΩcosr1ΔU2=kσΔΩcosr2它们代数叠加成ΔU=ΔU1+ΔU2=kσΔΩcosrr21而r1+r2=2Rcosα所以ΔU=2RkσΔΩ所有面元形成电势的叠加ΣU=2RkσΣΔΩ注意：一个完整球面的ΣΔΩ=4π（单位：球面度sr），但作为对顶的锥角，ΣΔΩ只能是2π，所以——ΣU=4πRkσ=kRQ（2）球心电势的求解和〖思考〗相同；球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证。〖答〗（1）球心、球内任一点的电势均为kRQ；（2）球心电势仍为kRQ，但其它各点的电势将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面）。【相关应用】如图7-9所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R1和R2，带有净电量+q，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－Q，外壁的电荷量为+Q+q，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以…【答案】Uo=krQ－k1RQ+k2RqQ。〖反馈练习〗如图7-10所示，两个极薄的同心导体球壳A和B，半径分别为RA和RB，现让A壳接地，而在B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷。试求：（1）A球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电势。〖解说〗这是一个更为复杂的静电感应情形，B壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量），A壳的情形未画出（有净电量），它们的感应电荷分布都是不均匀的。此外，我们还要用到一个重要的常识：接地导体（A壳）的电势为零。但值得注意的是，这里的“为零”是一个合效果．．．，它是点电荷q、A壳、B壳（带同样电荷时）单独存在时．．．．．在A中形成的的电势的代数和，所以，当我们以球心O点为对象，有UO=kdq+kAARQ+kBBRQ=0QB应指B球壳上的净电荷量，故QB=0所以QA=－dRAq☆学员讨论：A壳的各处电势均为零，我们的方程能不能针对A壳表面上的某点去列？（答：不能，非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！）基于刚才的讨论，求B的电势时也只能求B的球心的电势（独立的B壳是等势体，球心电势即为所求）——UB=kdq+kBARQ〖答〗（1）QA=－dRAq；（2）UB=kdq(1－BARR)。【物理情形2】图7-11中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点A是Δabc的中心，点B则与A相对bc棒对称，且已测得它们的电势分别为UA和UB。试问：若将ab棒取走，A、B两点的电势将变为多少？【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形，故前面的定式不能直接应用。若用元段分割→叠加，也具有相当的困难。所以这里介绍另一种求电势的方法。每根细棒的电荷分布虽然复杂，但相对各自的中点必然是对称的，而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相同。这就意味着：①三棒对A点的电势贡献都相同（可设为U1）；②ab棒、ac棒对B点的电势贡献相同（可设为U2）；③bc棒对A、B两点的贡献相同（为U1）。所以，取走ab前3U1=UA2U2+U1=UB取走ab后，因三棒是绝缘体，电荷分布不变，故电势贡献不变，所以UA′=2U1UB′=U1+U2【答案】UA′=32UA；UB′=61UA+21UB。〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成，各导体板带电且电势分别为U1、U2、U3和U4，则盒子中心点O的电势U等于多少？〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对O点具有对称性，但电量各不相同，因此对O点的电势贡献也不相同，所以应该想一点办法——我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：先将每一块导体板复制三块，作成一个正四面体盒子，然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子。在这个新盒子中，每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和）、电势也完全相同（为U1+U2+U3+U4），新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体，故新盒子的中心电势为U′=U1+U2+U3+U4最后回到原来的单层盒子，中心电势必为U=41U′〖答〗U=41（U1+U2+U3+U4）。☆学员讨论：刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形2”？（答：不行，因为三角形各边上电势虽然相等，但中点的电势和边上的并不相等。）〖反馈练习〗电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图7-12所示。P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为UP，试求Q点的电势UQ。〖解说〗这又是一个填补法的应用。将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为q的电荷，如图7-12所示。从电量的角度看，右半球面可以看作不存在，故这时P、Q的电势不会有任何改变。而换一个角度看，P、Q的电势可以看成是两者的叠加：①带电量为2q的完整球面；②带电量为－q的半球面。考查P点，UP=kRq2+U半球面其中U半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反，即U半球面=－UQ以上的两个关系已经足以解题了。〖答〗UQ=kRq2－UP。【物理情形3】如图7-13所示，A、B两点相距2L，圆弧DCO是以B为圆心、L为半径的半圆。A处放有电量为q的电荷，B处放有电量为－q的点电荷。试问：（1）将单位正电荷从O点沿DCO移到D点，电场力对它做了多少功？（2）将单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处去，电场力对它做多少功？【模型分析】电势叠加和关系WAB=q（UA－UB）=qUAB的基本应用。UO=kLq+kLq=0UD=kL3q+kLq=－L3kq2U∞=0再用功与电势的关系即可。【答案】（1）L3kq2；（2）L3kq2。【相关应用】在不计重力空间，有A、B两个带电小球，电量分别为q1和q2，质量分别为m1和m2，被固定在相距L的两点。试问：（1）若解除A球的固定，它能获得的最大动能是多少？（2）若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？（3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少？【解说】第（1）问甚间；第（2）问在能量方面类比反冲装置的能量计算，另启用动量守恒关系；第（3）问是在前两问基础上得出的必然结论…（这里就回到了一个基本的观念斧正：势能是属于场和场中物体的系统，而非单纯属于场中物体——这在过去一直是被忽视的。在两个点电荷的环境中，我们通常说“两个点电荷的势能”是多少。）【答】（1）krqq21；（2）Ek1=212mmmkrqq21，Ek2=211mmmkrqq21；（3）krqq21。〖思考〗设三个点电荷的电量分别为q1、q2和q3，两两相距为r12、r23和r31，则这个点电荷系统的静电势能是多少？〖解〗略。〖答〗k（1221rqq+2332rqq+3113rqq）。〖反馈应用〗如图7-14所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m、电量均为q，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。〖解〗设剪断的是1、3之间的绳子，动力学分析易知，2球获得最大动能时，1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度。设2球的速度为v，1球和3球的速度为v′，则动量关系mv+2mv′=0能量关系3kLq2=2kLq2+kL2q2+21mv2+212m2v解以上两式即可的v值。〖答〗v=qmL3k2。三、电场中的导体和电介质【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板A和B，面积都是S，间距为d（d远小于金属板的线度），