高中物理竞赛教程_第三讲_电场及电磁感应

第三讲磁场§3.1基本磁现象由于自然界中有磁石(43OFe)存在，人类很早以前就开始了对磁现象的研究。人们把磁石能吸引铁`钴`镍等物质的性质称为磁性。条形磁铁或磁针总是两端吸引铁屑的能力最强，我们把这吸引铁屑能力最强的区域称之为磁极。将一条形磁铁悬挂起来，则两极总是分别指向南北方向，指北的一端称北极(N表示)；指南的一端称南极(S表示)。磁极之间有相互作用力，同性磁极互相排斥，异性磁极互相吸引。磁针静止时沿南北方向取向说明地球是一个大磁体，它的N极位于地理南极附近，S极位于地理北极附近。1820年，丹麦科学家奥斯特发现了电流的磁效应。第一个揭示了磁与电存在着联系。长直通电导线能给磁针作用；通电长直螺线管与条形磁铁作用时就如同条形磁铁一般；两根平行通电直导线之间的相互作用……，所有这些都启发我们一个问题:磁铁和电流是否在本源上一致?1822年，法国科学家安培提出了组成磁铁的最小单元就是环形电流，这些分子环流定向排列，在宏观上就会显示出N、S极的分子环流假说。近代物理指出，正是电子的围绕原子核运动以及它本身的自旋运动形成了“分子电流”，这就是物质磁性的基本来源。一切磁现象的根源是电流，以下我们只研究电流的磁现象。§3.2磁感应强度3．2．1、磁感应强度、毕奥萨伐尔定律将一个长L，I的电流元放在磁场中某一点，电流元受到的作用力为F。当电流元在某一方位时，这个力最大，这个最大的力mF和IL的比值，叫做该点的磁感应强度。将一个能自由转动的小磁针放在该点，小磁针静止时N极所指的方向，被规定为该点磁感应强度的方向。真空中，当产生磁场的载流回路确定后，那空间的磁场就确定了，空间各点的B也就确定了。根据载流回路而求出空间各点的B要运用一个称为毕奥—萨伐尔定律的实验定律。毕—萨定律告诉我们：一个电流元IL(如图3-2-1)在相对电流元的位置矢量为r的P点所产生的磁场的磁感强度B大小为，为顺着电流IL的方向与r方向的夹角，B的方向可用右手螺旋法则确定，即伸出右手，先把四指放在IL的方向上，顺着小于的角转向r方向时大拇指方向即为B的方向。式中K为一常数，K=710韦伯/安培米。载流回路是由许多个IL组成的，求出每个IL在P点的B后矢量求和，就得到了整个载流回路在P点的B。如果令40K，70104特斯拉米安1，那么B又可写为20sin4rLIB0称为真空的磁导率。下面我们运用毕——萨定律，来求一个半径为R，载电流为I的圆电流轴线上，距圆心O为的一点的磁感应强度2sinrLIKr图3-2-1OIlIRxPrBB//B图3－2－2在圆环上选一Il，它在P点产生的磁感应强度2020490sin4rlIrlIB，其方向垂直于Il和r所确定的平面，将B分解到沿OP方向//B和垂直于OP方向B，环上所有电流元在P点产生的B的和为零，rRrlIBB20//4sin,B=RrRIlrRIB2443030//（Rl2线性一元叠加）2/32220)(2RIR在圆心处，0，RIB203．2．2、由毕——萨定律可以求出的几个载流回路产生的磁场的磁感应强度B(1)无限长载流直导线为了形象直观地描述磁场，引进了与电感线相似的磁感线。长直通电导线周围的磁感线如图3-2-3所示。如果导线中通过的电流强度为I，在理论上和实验中都可证明，在真空中离导线距离为r处的磁感强度rIB20或rIKB式中0称为真空中的磁导率，大小为mT/1047。17102mTK(2)无限长圆柱体无限长载流直导线rIB20r为所求点到直导线的垂直距离。半径为R，均匀载有电流，其电流密度为j的无限长圆柱体当r＜R，即圆柱体内20022RrIrjB当r＞R，即圆柱体外rIrjRB22020(3)长直通电螺线管内磁场长直导电螺线管内磁场如图图3-2-4所示可认为是匀强磁场，场强大小可近似用无限长螺线管内B的大小表示nIB0内n为螺线管单位长度的匝数(4)螺绕环的磁场与长直通电螺线管内磁场的磁场相同。3．2．3、磁感应线和磁通量为了形象地描绘磁场的分布，在磁场中引入磁感应线，亦即磁力线。磁力线应满足以下两点：第一，磁感应线上任一点的切线方向为该点磁感应强度B的方向；第二，通过垂直于B的单位面积上的磁感应线的条数应等于该处磁感应强度B的大小。图3-2-5的(a)和(b)分别给出了无限长载流导线和圆电流的磁场的磁力线。从图中可看到：磁力线是无头无尾的闭合线，与闭合电路互相套合。磁感线I图3-2-3图3-2-4I(a)I(b)图3-2-5是一簇闭合曲线，而静电场的电感线是一簇不闭合的曲线(或者是从正电荷到负电荷，或者是从正电荷到无穷远处，从无穷远处到负电荷)。这是一个十分重要的区别，凡是感线为闭合曲线的场都不可能是保守场。磁感强度是一个矢量，如果两个电流都对某处的磁场有贡献，就要用矢量合成的方法。如果有a、b两根长直通电导线垂直于纸面相距r放置，电流的大小IIa，IIb2(图3-2-6)那么哪些位置的磁感强度为零呢？在a、b连线以外的位置上，两根导线上电流所产生的磁感强度aB和bB的方向都不在一直线上，不可能互相抵消；在a、b连线上，a左边或b右边的位置上，aB和bB的方向是相同的，也不可能互相抵消；因此只有在a、b中间的连线上，aB和bB才有可能互相抵消，设离a距离为的P处合磁感应强度为零(图3-2-6)BABBB(矢量式)=02rIkIkrIkIk2，3r通过一给定曲面的总磁力线数称为通过该曲面的磁通量，磁通量的单位是韦伯，1韦伯=1特斯拉1米2。图3-2-7(a)中，通过匀磁场中与磁力线垂直的平面0S的磁通量为0BS；而通过与磁力线斜交的S面的磁通量为：cosBS(角即是两个平面S和S0的夹角，也是S面的法线与B的夹角)。而在(b)中，磁场和曲面都是任意的，要求出通过S面的磁通量应把通过S面上每一小面元iS的磁通量求出后求和，即：iiiSBcos3．2．4、磁场中的高斯定理考虑到磁力线是无头无尾的封闭曲线，对磁场中任一封闭曲面来说，有多少根磁力线穿入，必有多少根穿出，即通过磁场中任一封闭曲面的磁通量为零。这就是磁场的高斯定理，它表明了磁场一个重要性质，即磁场是无源场，自然界中没有单独的N极或S极存在。3．2．5、典型例题例1：图3-2-8所示，两互相靠近且垂直的长直导线，分别通有电流强度1I和2I的电流，试确定磁场为零的区域。分析：建立图示直角坐标系，用安培定则判断出两电流形成的磁场方向后，可以看出在Ⅰ、Ⅲ两象限内，两磁场方向相反，因此合磁场为零区域只能出现在这两个象限内。解：设P(x、y)点合磁感强度为零，即有021yIkxIk得xIIy12这就是过原点的直线方程，其斜率为I2/I1。例2：如图3-2-9所示，将均匀细导线做成的圆环上任意两点A和B与固定电源连接起来，计算由环上电流引起的环中心的磁感强度。分析：磁感强度B可以看成圆环上各部分(将圆环视为多个很小长度部分的累加)的贡献之和，因为对称性，圆环上各部分电流在圆心处磁场是相同或相反，可简化为代数加减。解：设A、B两点之间电压为U，导线单位长度电阻，如图3-2-10所示，则二段圆环电流ⅣxyⅠⅡⅢ图3-2-8AIBIO图3-2-9（a）（b）图2-3-7RUI1RUI)2(2磁感强度B可以是圆环每小段l部分磁场B的叠加，在圆心处，B可表达为RlIkB，所以：11111kIRRIkRlIkB)2()2(22222kIRRlkRlIkB因RIRI)2(21故21BB，即两部分在圆心处产生磁场的磁感强度大小相等，但磁场的方向正好相反，因此环心处的磁感强度等于零。§3.3磁场对载流导体的作用3．3．1、安培力一段通电直导线置于匀磁场中，通电导线长L，电流强度为I，磁场的磁感应强度为B，电流I和磁感强度B间的夹角为，那么该导线受到的安培力为sinBILF电流方向与磁场方向平行时，0，或180，F=0，电流方向与磁场方向垂直时，90，安培力最大，F=BIL。安培力方向由左手定则判断，它一定垂直于B、L所决定的平面。当一段导电导线是任意弯曲的曲线时，如图3-3-1所示可以用连接导线两端的直线段的长度l作为弯曲导线的等效长度，那么弯曲导线缩手的安培力为sinBILF3．3．2、安培的定义如图3-3-2所示，两相距为a的平行长直导线分别载有电流1I和2I。载流导线1在导线2处所产生的磁感应强度为aIB21021，方向如图示。导线2上长为2L的线段所受的安培力为：2sin21222BLIF=221021222LaIIBLI其方向在导线1、2所决定的平面内且垂直指向导线1，导线2单位长度上所受的力aIILF221022同理可证，导线上单位长度导线所受力也为aIILF221011。方向垂直指向2，两条导线间是吸引力。也可证明，若两导线内电流方向相反，则为排斥力。国际单位制中，电流强度的单位安培规定为基本单位。安培的定义规定为：放在真空中的两条无限长直平行导线，通有相等的稳恒电流，当两导线相距1米，每一导线每米长度上受力为2710牛顿时，各导线上的电流图3-2-10RBBA2I1I2lＰＩＱB图3-3-1I1I212B12B21a1F2F图3-3-2的电流强度为1安培。3．3．3、安培力矩如图3-3-3所示，设在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一刚性长方形平面载流线图，边长分别为L1和L2，电流强度为I，线框平面的法线n与B之间的夹角为，则各边受力情况如下：2BILfab方向指向读者2BILfcd方向背向读者cos)2sin(11BILBILfbc方向向下cos)2sin(11BILBILfda方向向上bcf和daf大小相等，方向相反且在一条直线上，互相抵消。abf和cdf大小相等，指向相反，但力作用线不在同一直线上，形成一力偶，力臂从图3－3－3中可看出为sin)2cos(11LL故作用在线圈上的力矩为：sinsin121LBILLfMab而21LL为线圈面积S，故sinBISM我们称面积很小的载流线圈为磁偶极子，用磁偶极矩mP来描绘它。其磁偶极矩的大小为平面线圈的面积与所载电流的电流强度之乘积，即ISPm，其方向满足右手螺旋法则，即伸出右手，四指绕电流流动方向旋转，大拇指所指方向即为磁偶极矩的方向，如图3-3-4中n的方向，则角即为磁偶极矩mP与磁感应强度B的正方向的夹角。这样，线圈所受力矩可表为sinBPMm我们从矩形线圈推出的公式对置于均匀磁场中的任意形状的平面线圈都适合。典型例题例1．距地面h高处1水平放置距离为L的两条光滑金属导轨，跟导轨正交的水平方向的线路上依次有电动势为的电池，电容为C的电容器及质量为m的金属杆，如图3-3-5，单刀双掷开关S先接触头1，再扳过接触头2，由于空间有竖直向下的强度为B的匀强磁场，使得金属杆水平向右飞出做平抛运动。测得其水平射程为s，问电容器最终的带电量是多少？分析：开关S接1，电源向电容器充电，电量CQ0。S扳向2，电容器通过金属杆放电，电流通过金属杆，金属杆受磁场力向右，金属杆右边的导轨极短，通电时间极短，电流并非恒定，力也就不是恒力。因此不可能精确计算每个时刻力产生的效果，只能关心和计算该段短时间变力冲量的效果，令金属杆离开导轨瞬间具有了水平向右的动量。根据冲量公式qBLtBLitF，跟安培力的冲量相联系的是t时间内流经导体的电量。由平抛的高度与射程可依据动量定理求出q，电容器最终带电量可求。解