高中数学竞赛训练题二

数学竞赛训练题（二）一、选择题1、若点P（x，y）在直线x+3y=3上移动，则函数f（x，y）=yx93的最小值等于（）（A）51)427(5（B）71)927(7（C）71)916(7（D）31)25(32、满足20073xxy的正整数数对（x，y）（）（A）只有一对（B）恰有有两对（C）至少有三对（D）不存在3、设集合M={-2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f：MN使对任意的x∈M，都有)()(xxfxfx是奇数，则这样的映射f的个数是（）（A）45（B）27（C）15（D）114、设方程1)19cos()19sin(2007220072yx所表示的曲线是（）（A）双曲线（B）焦点在x轴上的椭圆（C）焦点在y轴上的椭圆（D）以上答案都不正确5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，奇和数有（）个。（A）100（B）120（C）160（D）2006、函数)(xfy与)(xgy有相同的定义域，且对定义域中的任何x，有1)()(,0)()(xgxgxfxf。若1)(xg的解集是}0|{xx，则函数)(1)()(2)(xfxgxfxF是（）A、奇函数B、偶函数C、既是奇函数又是偶函数D、既不是奇函数又不是偶函数二、填空题7、边长均为整数且成等差数列，周长为60的钝角三角形共有个。8、已知三个正整数x，y，z的最小公倍数是300，并且032023222zyxzyx，则方程组的解（x，y，z）=。9、已知关于x的实系数方程0222xx和0122mxx的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是。10、设平面上的向量yxba,,,满足关系yxbyxa2,，又设a与b的模为1，且互相垂直，则x与y的夹角为。11、设函数|2)(|)(|,1)(|)(|,|)(12010xfxfxfxfxxf，则函数)(2xf的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是。12、若正整数n恰有4个正约数，则称n为奇异数，例如6，8，10都是奇异数，那么在27，42，69，111，125，137，343，899，3599，7999这10个正整数中奇异数有个。三、解答题13、已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足abc=).1)(1)(1(2cba（1）是否存在边长均为整数的△ABC？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由。（2）若a＞1，b＞1，c＞1，求出△ABC周长的最小值。14、已知椭圆12222byax过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线|y|=x的交点为B、C。现有以A为焦点，过点B、C且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标为M（m，0）。当椭圆的离心率e满足1322e时，求实数m的取值范围。答案：1．（A）解：5321321321321321321322)31(233333321321533332132133339393)(xxxxxxxxxxxxxxxxyxxf=5153)427(53415，等号当且仅当xx3213321，即)2log1(533x时成立，故f（x，y）的最小值是51)427(52、（B）解：设2007,322xbxa，其中a，b均为自然数，则y=a+b，167322004))((222ababab。因为b+a与b-a有相同的奇偶性，且b+ab-a,所以21002abab或6334abab解得502500ba或170164ba3、（A）解：当x=-2时，x+f（x）+xf（x）=-2-f（-2）为奇数，则f（-2）可取1，3，5，有三种取法；当x=0时，x+f（x）+xf（x）=f（0）为奇数，则f（0）可取1，3，5，有3种取法；当x=1时，x+f（x）+xf（x）=1+2f（1）为奇数，则f（1）可取1，2，3，4，5，有5种取法。由乘法原理知，共有3×3×5=45个映射。4、（C）解：))(1360(19)1360(19)19(19191003100322007Nnn于是，19sin)1919360sin()19sin(2007n，同理19cos)19cos(2007。因为019sin19cos，故应选（C）5、（A）解：设三位数是321aaa，则321aaa+)()(10)(100312231123aaaaaaaaa。若31aa不进位，则和数的十位数必为偶数，不符合题意，所以31aa=11，13，15，17。因11=9+2=8+3=7+4=6+5，所以3,1aa取值有224A种可能；因13=9+4=8+5=7+6，所以3,1aa取值有223A种可能；因15=9+6=8+7，所以3,1aa取值有222A种可能；因17=9+8，所以3,1aa取值有22A种可能；由于22aa不能进位，所以2a只能取0，1，2，3，4。因此，满足条件的数共有：5（224A+223A+222A+22A）=100（个）6、（B）解：由,,12511,1256122111aa猜想：1251nna。由已知递推关系式，易用数学归纳法给予证明（略）于是，当n1时,).10(mod1na故)10(mod220066200721aaa因此,应选(B)7．（20，60，100）解：记方程组中的两个方程为（1），（2），消去x得038522zyzy，即0))(35(zyzy所以035zy，（3）或0zy，（4）由（1）、（3）得xzxy5,3，即x：y：z=1：3：5，于是，由已知条件，必有x=20，y=60，z=100；由（1）（4），得x=-y=-z，与已知条件矛盾。8．{m|-1m1或m=-3/2}解：易知方程0222xx的两根为.1,121ixix当0442m，即11m时，方程0122mxx有两个共轭的虚根4,3xx，且4,3xx的实部为1m，这时4321,,,xxxx在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形，它们共圆。当0442m，即1m或0m时，方程0122mxx有两个不等的实根4,3xx，则21,xx对应的点在以4,3xx对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为0))((243yxxxx，即0)(434322xxxxxyx，将1,24343xxmxx及21,xx对应点的坐标（1，±1）代入方程，即得23m。故m的取值范围是{m|-1m1或m=-3/2}9、)1010arccos(解：由已知，得32,3abybax，设x与y的夹角为，则1010||||cosyxyx，所以=)1010arccos(10、7解：函数)(2xfy的图象如图的实线部分所示。所求的封闭部分的面积为712212)62(21CDEABCDSS梯形11、xy3626解：当AQ=x时，设GQ与面BDE交于点N，作NM⊥BD于点M，联结QM交直线BC于点'P，取点'P为点P，知此时y=|MN|最小。建立如图1的空间直角坐标系，则Q（0，x，1）且△BDE所在平面上的点（x，y，z）满足x+y=z，故可令),,(0000yxyxN。由点N在QG上，知在（0，1）内存在λ使QN=λQG。代入消去λ得.)1(,120000xyxxyx从而，xxyxxx31,3100于是，).32,31,31(xxxxxN而点M在BD上，故可令).1,1,(11xxM由0BDMN，知).31(231xxx于是，.3626)31(26||xxxMNy12、20074012解：设iiax22，则iiixxa12，且120071iix，所以)()()(122006212007312007322007212007200721xxxxxxxxxxxxaaaABD2C1E-3-2-1O123xyxyzAQDQHQGQFGQBGQEBGQMQPCN200620062120062007312006200732200721200720062006200612xxxxxxxxxxxx=20072007200740122006213解：（1）不妨设整数a≥b≥c，显然c≥2。若c≥5，这时.51111cba由)1)(1)(1(2cbaabc，可得3)54()11)(11)(11(21cba。矛盾，故c只可能取2，3，4。当c=2时，)1)(1(baab，有.1ba又a≥b≥2，故无解。当c=3时，）1-)(1(43baab，即12)4)(4(ba又a≥b≥3，故14124ba或2464ba或3444ba解得516ba或610ba或78ba能构成三角形的只有a=8，b=7，c=3。当c=4时，同理解得a=9，b=4或a=6，b=5。能构成三角形的只有a=6，b=5，c=4。故存在三边长均为整数的△ABC，其三边长分别为4，5，6或3，7，8（2）由)1)(1)(1(2cbaabc，可得3]3)11()11()11([)11)(11)(11(21cbacba所以，3223111cba又9)111)(cbacba（，则有122322391119333cbacba故△ABC的周长最小值为122333，当且仅当12233cba时，取得此最小值。14.解：椭圆过定点A（1，0），则a=1，c=221,1beb∵1322e，∴330b，由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线y=x（x≥0）的交点，就必过椭圆与射线y=－x（x≥0）的交点解方程组1)0(222byxxxy，得21bbyx∵)33,0(b，∴210x设抛物线方程为：1,0),(22mpmxpy，又∵12mp，∴1),)(1(42mmxmy.)21,0(,xxy得0)1(4)1(42mmxmx.令)210,1(),1(4)1(4)(2xmmmxmxxf，∵)21,0()(在xf内有根且单调递增，∴0)1(4)1(241)21(0)1(4)0(mmmfmmf∴42342301mmm或，故4231m