高中数学竞赛讲座--数学归纳法的变着

数学归纳法的变着1．第二数学归纳法：对于某个与自然数n有关的命题)(nP，（1）验证0nn时)(nP；（2）假设knn0时)(nP成立，并在此基础上，推出)1(kP成立。综合（1）（2）对一切自然数)(0nn，命题)(nP都成立；，命题成立；，对一切自然数综合时命题也成立，当＝，、、、、、又又＝时当，则：、、、、、时，命题成立，即假设当命题成立；可得及时，当证明：，求证：且有】已知对任意【例nknkakakakkaaaaakkakjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaknkjjaknaaaannaaaaNnkkkkkkjjkkkjjjkjjkkkjjkkkkkjjkkkkjjkkkjjkkjjkjjkjjkkjjkkjjkjjjnnjjnjjn)2)(1(110)()]1([)1(22)1()4321(,22022)()()()(1)4321(,)2(,1,0,1)1(;)(,0,11111211121111211121311112131112121211211113312131131131121312113;2322nnPn个质数求证：第推，算第二个质数，依此类算作第一个质数，大编上序号，【练习】将质数由小到;2)2)(1(1221,1122122);321(,2)2(221)1(221221112121212122221222222122111111211nkkkkkkinkkkkkkkkkkiPnknPPPPqPPPPPqPPPPPPPPPPPPPPPkkiPknPn，都有可知，对任何自然数综合时也成立；结论在即：，只能大于或等于、、、是不可能的质因数，所以都不能整除、、、，得：个不等式两边分别相乘将这、、、、时结论成立，即：、假设，结论成立；时，、当证：2．（1）验证);()1(,),1(),(000NllnPnPnP成立，（2）假设)(kP成立，并在此基础上，推出)(lkP成立，综合（1）（2）对一切自然数)(0nn,命题)(nP都成立；如下图：时的情况、、原命题只须证份小正方形成此时原正方形就可以分个小正方形，等分成份后再拿其中一份任一个正方形分成证：的正整数；是大于块正方形，其中可以剖分为】证明：任一个正方形【例87634452nknknn原命题成立；综合及归纳假设显然成立时，由时，命题成立，则当假设当可知命题成立；时，由当证明：分的邮资；分的邮票可支付任何分和【练习】试证面值为)2)(1()1(3),7()2(5510,3339,53810,9,8)1(),7(53knNkkknnNnnn6个正方形7个正方形8个正方形所以，综上可得原命题成立；3．（倒推归纳法）（1）对于无穷多个自然数命题)(nP成立；（2）假设)1(kP成立，并在此基础上推出)(kP成立，综合（1）（2），对一切自然数)(0nn,命题)(nP都成立；；个正数全部相等时成立且仅当过程可以看出，等号当都成立，且从证明向归纳原理，对于任意综合上述两方面，由方故可得成立次方，即得：时在上面不等式得两端同于是：时的不等式，令：也成立，为了利用个正数何个正数成立，那么对任对任何下面证明，如果不等式不等式成立；以对一切时，不等式也成立，所可见后一个不等号得之于等号得之于归纳假设，上述推理中，前一个不＝时，就有：于是当个正数，都有任意时，不等式成立，即对假设当成立；时，即＝＝时，有：当使用归纳法；成立，为此对证：先证对一切算术－几何平均不等式求证：对于任意个正数，是】设【例nGANnGAAGAkkaaaaaaaaaakaaaakaaaaaakaknaaakkNmnkmGAGaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAkmGANkkmGAmGaaaaaaaaaaaaaaAmmGANmnGANnaaaGaaanAnaaannkkkkkkkkkkkkkkkkkkkmkkkknnnnnmnnnnnnnnkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk,)()(11)(11,,,1)(21,)(21)](21)(21[21)(211)(21)(21)2(21)(211),(2)(;,,),(1,,311111112112112112112112112122222122212212222122122221212221212221122221212121212121221212111111111)(1sin)sinsin(sin1],0[,,212121nnnnn则，证明：如果【练习】用反向归纳法时，不等式成立；综上可得：时不等式成立，故＝时，当时不等式成立，假设时，不等式成立；即：当时，当时不等式成立，证：先证)(,21)(21sin)22(21sin)2sin2(sin21)]sin(sin21)sinsin(sin21[21]sinsinsinsin[sin211212sin2cos2sin)sin(sin211)(,2111112122211212221212221212221212221121212121NmnkmkmmmmNmnmkkkkkkkkkmkkkkkkkkkkkkkkk，不等式得证；由反向归纳法原理可得时不等式成立；即：由假设时，令时不等式成立，当假设knakakkkakakakakakakakbknknkkkkkkkkkkkk)sinsin(sin11)(1sin1)](1sin)sin)sinsin[(sin11)sinsinsin(sin11)(1sin)(1sin)(11sin)(112121211211212121121214．（螺旋式归纳法）)()(nQnP和为两个与自然数n有关的命题，假如（1）)(0nP成立；（2）假设)(),(0nkkP成立，能推出)(kQ成立，假设)(kQ成立，能推出)1(kP成立；综合（1）（2）,对于一切自然数)(0nn，)()(nQnP和都成立；成立即：都成立，和，数综上可得，对任意自然成立成立，即假设成立成立，即假设成立时，当：下用螺旋式归纳法证明指在提设条件下求证：命题指在提设条件下求证：命题两个子命题证：依题意把命题分为求证：中，已知】在数列【例)134(21),134(21)()()1(]1)1(3)1(4)[1(21)26634(211)1(3)134(21)134(21)()3()()134(213)134(21),134(21)()2()1(,1)11314(121,11)11(131)1()134(21)(),134(21)(),(),()134(21),134(21),(,1)1(3,34222122223122122122222221222121122212222121222nnnSnnnSnBnAnkAkkkkkkkkSkkkkkaSSkkkSkBkBkkkkkkkaSSkkkSkAASannnnSnBnnnSnAnBnAnnnSnnnSNnnnanaannnkknkkknknnnnnnn个四面体；则这些线段至少构成一条线段，个点间连有设空间命题个四面体；则这些线段至少构成一条线，个点间连有设空间命题，定义：有关的命题，记其为证：这是一个与自然数证之；少构成一个四面体，试条线段，则这些线段至不共面，它们之间连有个点，其中任意四点都【练习】设空间中有1)1(2)2(13:)(1)1(2)1()2(23:)()()2(13)2(3222mmmmmmFmmmmmmEmGmmmmm都成立；命题知对一切，由螺旋归纳法原理便综合条线段，从而由个点间至少连有去掉时，余下的将，由它引出的线段数一点条线段，于是其中必有个点间连有设最后证条线段，从而由命题个点间至少连有去掉，余下的，将，由它引出的线段一点条线段，于是其中必有个点间连有设再证成立；一个四面体，从而便知这些线段至少构成由命题条连线，个点间至少还有点去掉时，余下的矛盾。当将于是线段总数为：，出的线段都不小于，若不然，则由每点引出的线段条数为点引，则由是引出线段最少的一点条线段且个点间连有设证明成立；四面体，即命题条线段，当构成，即四点间连有时，当)()()(,,2)4)(3)(2)(1()1()(133.21)1(213)1()()4()()(1)1(2132133)()()3()()(1)1(2)1(231)1(2)13(2121)1(213)()()2()2(661)1(2)1(,4232)1(22222222mGmFmENmmkEkGkkAkaAkkkkkEkGkGkFkkkkAkaAkkkGkFkFkEkkkkAkkkkkSkkaaAkkkkkFkEEmmmmm均成立；，，由此，对一切自然数也正确，即则可得成立，而由成立即：则：命题即成立；时，设成立；时，易知由命题证：记命题求证：定义为：【练习】数列:)()()1()2()()(22)(),1()1(;)()2()(2:)(;:)()(),()1(),1(12:)(;:)(;,1,1,4222321212221221122123212222121212121212222211122212221112221122212112nQnPnkQFFFFFFFFFFFFFFFkQkPkPFFFFFFFFFFFFFFFFFkQFFFkPkQkPknQPnFFFFnQFFFnPFFFFFFFFFkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkknnnnnnnnnnnnnn成立；，对一切自然数综合成立，出成立，并在此基础上推的一切值时，对假设成立；的一切值时，对验证的题目，与参数为含有自然数),(),()2)(1()1,(),()()2(),()1(),(.50000naPnnnkaPkaPankknnaPannannaP命题成立；、对一切非负整数综合时命题成立，是任意非负整数，其中也是正整数，）（项都是正整数，故根据归纳假设，上面两）（＝）（时，有：则当是任意非负整数；是正整数，其中时命题成立，即：假设当是非负整数是正整数，其中＝时，原式＝当进行归纳看作常数，对有关，可把证：命题与两个参数是正整数；，则：若规定是任意非负整数，证明、】已知【例nmknmkmkmkmkmkmkmkmkmkmkmmmmkmkmkmkmmkmkm