高中数学竞赛：解析几何

高中数学竞赛专题：《解析几何》试题一、选择题1．（04湖南）已知曲线C：xxy22与直线0:myxl有两个交点，则m的取值范围是()A．)2,12(B．)12,2(C．)12,0[D．)12,0(2.(集训试题)过椭圆C：12322yx上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．]33,0(B．]23,33(C．)1,33[D．)1,23(3．（05全国）方程13cos2cos3sin2sin22yx表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线4．（06浙江）已知两点A(1,2),B(3,1)到直线L的距离分别是25,2，则满足条件的直线L共有（）条.A．1B．2C．3D．45.（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y＝12上,则抛物线方程为()A.212yxB.212yxC.216yxD.216yx6．（2006年江苏）已知抛物线22ypx，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有A0个B2个C4个D6个7．（2006天津）已知一条直线l与双曲线12222byax（0ab）的两支分别相交于P、Q两点，O为原点，当OQOP时，双曲线的中心到直线l的距离d等于（）（A）22abab（B）22abab（C）abab22（D）abab228.（2006年浙江省预赛）设在xOy平面上，20xy，10x所围成图形的面积为31，则集合},1),{(xyyxM}1),{(2xyyxN的交集NM所表示的图形面积为(A)31(B)32(C)1(B)34.9．（06安徽）过原点O引抛物线224yxaxa的切线，当a变化时，两个切点分别在抛物线（）上A．2213,22yxyxB．2235,22yxyxC．22,3yxyxD．223,5yxyx10．若在抛物线)0(2aaxy的上方可作一个半径为r的圆与抛物线相切于原点O，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r的最大值是()A．a21B．a1C．aD．a211．（06江苏）已知抛物线y2=2px，o是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有()A．0个B．2个C．4个D．6个12．（06全国）如图3，从双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点F引圆222xya的切线，切点为T．延长FT交双曲线右支于P点.若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则||||MOMT与ba的大小关系为（）A．||||MOMTbaB．||||MOMTbaC．||||MOMTbaD．不确定13．（05四川）双曲线12222byax的左焦点为1F，顶点为21,AA，P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段211,AAPF为直径的两圆一定（）A．相交B．内切C．外切D．相离14．（02湖南）已知A（-7，0），B（7，0），C（2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C，且过A、B两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（）（奥析263）A．双曲线B．椭圆C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分15．（03全国）过抛物线)2(82xy的焦点F作倾斜角为60O的直线。若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与轴交于点P，则线段PF的长等于（）（奥析263）A．316B．38C．3316D．38二、填空题1．若a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c=0被椭圆22128xy截得线段的中点的轨迹方程为024422yyxx2.（2006天津）已知椭圆12222byax（0ba），长轴的两个端点为A、B，若椭圆上存在点Q，使120AQB，则该椭圆的离心率e的取值范围是)1,36[．3．（04湖南）设P是椭圆191622yx上异于长轴端点的任意一点，1F、2F分别是其左、右焦点，O为中心，则221||||||OPPFPF_25_.4．（05湖南）一张坐标纸对折一次后，点)4,0(A与点)0,8(B重叠，若点)8,6(C与点),(nmD重叠，则nm___14.8___;5．在正△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则以B、C为焦点且过点D、E的双曲线的离心率是13．6．（03全国）设F1、F2是椭圆14922yx的两个焦点，P是椭圆上的一点，且|PF1|：|PF2|=2：1.则三角形PF1F2的面积为4.（奥析264）7．（04全国）给定两点M（-1，2），N（1，4），点P在x轴上移动.当MPN取最大时，点P的坐标为（1,0）.（奥析265）8．（03山东）设曲线64222xyx上与原点距离最大和最小的点分别为M、N，则|MN|=15.（奥析266）9．（04全国）已知}.|),{(},32|),{(22bmxyyxNyxyxM若对于所有的Rm，均有NM，则b的取值范围是]26,26[（奥析267）10．（00全国）平面上的整点到直线25x－15y+12=0的距离中的最小值是8534.11．(99全国)满足不等式（|x|－1）2+(|y|－1)22的整点的个数有16.12．（00河北）在圆x2+y2－5x=0内，过点)23,25(有三条弦的长度成等比数列.则其公比的取值范围为]25,552[.13．设P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆（x－5）2+y2=1上的点，则|PQ|的最小值为2.14．点A是直线xyl3:上一点，且在第一象限，点B的坐标为（3，2），直线AB交x轴正半轴于点C，那么三角形AOC面积的最小值是328三、解答题1．已知抛物线y2=4ax（0a1）的焦点为F，以A（a+4,0）为圆心，|AF|为半径在x轴上方作半圆交抛物线与不同的两点M、N，设P为线段MN的中点.（1）求|MF|+|NF的值.（2）是否存在这样的a的值，使||MF|、|PF|、|NF|成等差数列？如存在，求出a的值；如不存在，说明理由。答案（1）8；（2）不存在。（利用定义法）2．圆x2+y2=8，点A（2，0），动点M在圆上，0为原点，求OMA的最大值。43．（03山东）椭圆C：122ByAx与直线：x+2y=7相交于P、Q两点，点R的坐标为（2，5）.若PQR是等腰三角形，OPRQ90，求A、B的值。（奥析265）352,353BA4．已知曲线myxM22:，0x，m为正常数．直线l与曲线M的实轴不垂直，且依次交直线xy、曲线M、直线xy于A、B、C、D4个点，O为坐标原点．（1）若||||||CDBCAB，求证：AOD的面积为定值；（2）若BOC的面积等于AOD面积的31，求证：||||||CDBCAB．解：（1）设直线l：bkxy代入BACQPyOCxDBAmyx22得：02)1(222mbbkxxk，0得：0)1(22kmb，设),(11yxB，),(22yxC，则有22112kbkxx，22211)(kmbxx，设),(33yxA，),(44yxD，易得：kbx13，kbx14，由||||||CDBCAB得||31||ADBC，故||31||4321xxxx，代入得|12|311)(4)12(22222kbkmbkbk，整理得：)1(8922kmb，又|1|2||kbOA，|1|2||kbOD，90AOD，AODS=mkb89|1|22为定值.（2）设BC中点为P，AD中点为Q则22112kbkxxxp，24312kbkxxxQ，所以QPxx，P、Q重合，从而||||DPAP，从而||||CDAB，又BOC的面积等于AOD面积的31，所以||31||ADBC，从而||||||CDBCAB.5．已知点A0,5和曲线0,5221422yxyx上的点、、PP21…、nP.若AP1、AP2、…、APn成等差数列且公差d0,(1).试将d表示为n的函数关系式.(2).若51,51d,是否存在满足条件的)(*Nnn.若存在,求出n可取的所有值,若不存在,说明理由.解(1)∵d0,故为递增数列∴AP1最小,APn最大.由方程0,5221422yxyx知)0,5(A是它的右焦点,L:54x是它的右准线,∴251AP3APn于是dn)1()25(3∴)1(155nnd…………………………-5分（2）∵)51,51(d∴5115551n设)5526,455(n又∵*Nn∴n取最大值14,n取最小值8.∴n可取8、9、10、11、12、、13、14这七个值.--------------9分6．（04全国）在平面直角坐标系xoy中，给定三点4(0,),(1,0),(1,0)3ABC，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L经过ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为44(1),(1),033yxyxy。点(,)Pxy到AB、AC、BC的距离依次为12311|434|,|434|,||55dxydxydy。依设，2222123,|16(34)|25dddxyy得，即22222216(34)250,16(34)250xyyxyy或，化简得点P的轨迹方程为圆S：22222320171280xyyyy2与双曲线T:8x......5分（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S：2222320xyy①与双曲线T：2171280yy28x②因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点.ABC的内心D也是适合题设条件的点，由123ddd，解得1(0,)2D，且知它在圆S上.直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为12ykx③（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线12y平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分（ii）当0k时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率12k，直线L的方程为(21)xy.代入方程②得(34)0yy，解得54(,)33E54或F(-,)33.表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当12k时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......15分情况2：直线L不经过点B和C（即12k），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组22817128012xyyykx有且只有一组实数解，消去y并化简得2225(817)504kxkx该方程有唯一实数解的充要条件是28170k④或2225(5)4(817)04kk⑤.解方程④得23417k，解方程⑤得22k.综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集12342{0,,,}21727．（04湖南）在周长为定值的ABC中，已知6||AB，且当顶点C位于定点P时，Ccos有最小值为257.(1)建立适当的坐标系，求