高中数学竞赛

高中数学竞赛（00-06年）试题分类汇总——集合和函数一、选择题（每小题6分）1．（00全国）设全集是实数，若A={x|2x≤0}，B={x|2210x=x10},则RACB是(D)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(A){2}(B){1}(C){x|x≤2}(D)2．（01全国）已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的个数为()A.1B2C.4D.不确定解：M表示方程ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4ａ２＞0，所以Ｍ含有2个元素．故集合Ｍ有2２＝4个子集，选Ｃ．3．（02全国）函数f(x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3,＋∞）解：由x2-2x-3＞0有x＜-1或x＞3，故函数log1/2(x2-2x-3)的定义域为x＜-1或x＞3。二次函数u=x2-2x-3在（-∞，-1）内单调递减，在（3，+∞）内单调递增。而log1/2u在(0,+∞)上单调递减，所以log1/2(x2-2x-3)在(-∞,-1)单调递增，故选A。4．（02全国）函数f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数又是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数解：函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，当x≠0时，因为f(-x)=(-x)/(1-2-x)-(-x)/2=(-x2x)/(2x-1)+(x/2)=(x+x(2x-1))/(1-2x)+(x/2)=(x/(1-2x))-x+(x/2)=(x/(1-2x))-(x/2)=f(x)，所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数，故选A。5．（06全国）已知集合05axxA，06bxxB,Nba,，且2,3,4ABN，则整数对ba,的个数为（）A.20B.25C.30D.42【解】50xa5ax；60xb6bx。要使2,3,4ABN，则126455ba，即6122025ba。所以数对ba,共有116530CC。【答】（C）6．（06全国）设322()log1fxxxx，则对任意实数,ab，0ab是()()0fafb的A.充分必要条件B.充分而不必要条件（）C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解】显然322()log1fxxxx为奇函数，且单调递增。于是，若0ab，则ab，有()()fafb，即()()fafb，从而有()()0fafb.反之，若()()0fafb，则()()()fafbfb,推出ab，即0ab。选A.7．（04天津）已知函数xxxxeeeexf)(的反函数是)(1xf，且kff|)6.0(||)8.0(|11，则（D）（A）)21,0(k（B）)1,21(k（C）)23,1(k（D）)2,23(k8．（05天津）已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数．如果对于任意的a、b∈R都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)，则函数f(x)()(A)是奇函数(B)是偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数也不是偶函数解：A．由f(－1)＝－f(1)＋f(－1)有f(1)＝0，而f(1)＝－2f(－1)，∴f(－1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)．9．（06天津）已知函数22)(2axxxf，当),1[x时，axf)(恒成立，则a的取值范围是（D）（A）12a（B）12a（C）23a（D）13a10．（06天津）已知集合B是集合}100,,2,1{的子集，且对任意Bx，都有Bx2，则集合B中的元素最多有（A）（A）67个（B）68个（C）69个（D）70个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）11．（01全国）函数y＝x＋2x3x2的值域为_______________.解：先平方去掉根号．由题设得（ｙ－ｘ）２＝ｘ２－3ｘ＋2，则ｘ＝（ｙ２－2）／（2ｙ－3）．由ｙ≥ｘ，得ｙ≥（ｙ２－2）／（2ｙ－3）．解得1≤ｙ＜3／2，或ｙ≥2．由于能达到下界0，所以函数的值域为［1，3／2］∪［2，＋∞］．说明：（1）参考答案在求得1≤ｙ＜3／2或ｙ≥2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要．（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试．12．（02全国）已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)=。解：由g(x)=f(x)+1-x得：f(x)=g(x)+x-1，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+(x-1)+5,g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+(x-1)+1.即g(x+5)≥g(x),g(x+1)≤g(x).∴g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1)≤g(x).∴g(x+1)=g(x).即g(x)是周期为１的周期函数，又g(1)=1，故g(2002)=1.13．（02全国）若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则∣x∣-∣y∣的最小值是。解：由对称性只考虑y≥0，因为x＞0，所以只须求x-y的最小值.令x-y=u代入x2-4y2=4,有3y2-2uy+(4-u2)=0.这个关于y的二次方程显然有实根，故Δ=16(u2-3)≥0,∴u≥√3.当x=(4/3)√3,y=(√3)/3时,u=√3.故∣x∣-∣y∣的最小值为√3.14．（03全国）已知a，b，c，d均为正整数，且45log23logdbca，，若a－c＝9，则b－d＝．解：由已知可得：dcba4523,，从而42)(,)(cdcaba，因此a｜b，c｜d．又由a－c＝9，故9)()(42cdab，即9))((2222cdabcdab，故得192222cdabcdab，解得32,12516,25dbca．故b－d＝93．15．（03全国）不等式|x|3－2x2－4|x|＋30的解集是________________解：由原不等式分解可得(|x|－3)(x2＋|x|－1)＜0，由此得所求不等式的解集为)3,215()215,3(．16．（03全国）已知A＝{x｜x2－4x＋3＜0，x∈R＝，B＝{x｜21－x＋a≤0，x2－2(a＋7)＋5≤0，x∈R}，若AB，则实数a的取值范围是___________________．解：易得：A＝(1，3)，设5)7(2)(,2)(21xaxxgaxfx，要使BA，只需f(x)、g(x)在(1，3)上的图象均在x轴下方，其充要条件是f(1)≤0，f(3)≤0，g(1)≤0，g(3)≤0，由此推出－4≤a≤－1．17．（04全国）设函数:,(0)1fRRf满足，且对任意,,xyR都有(1)()()fxyfxfy()2fyx，则()fx=_____________________。解：,,(1)()()()2,xyRfxyfxfyfyx对有(1)()()()2fxyfyfxfxy有()()()2fxfyfyx=()()()2fyfxfxy即()(),0,()1fxyfyxyfxx令得。18．（05全国）已知)(xf是定义在),0(上的减函数，若)143()12(22aafaaf成立，则a的取值范围是.51310aa或解：)(xf在),0(上定义，又2217212()0;48aaa2341(31)aaa•),1(a仅当1a或31a时，).(01432aa)(xf在),0(上是减函数，,50,05,14312222aaaaaaa结合（＊）知310a或.51a19．（04天津）若关于x的方程xaxaxlg1lg2只有一个实数解，则a的值等于100．20．（05天津）已知二次函数f(x)满足f(－1)＝0，且x≤f(x)≤21(x2＋1)对一切实数x恒成立，那么，函数f(x)的解析式为______41(x＋1)2___________．三、解答题(每小题20分)21．（00全国）若函数21321)(2xxf在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b].答案：13[13][217]4，或，22．（02全国）设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件：（1）当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;92）；（2）当x∈(0,2)时，f(x)≤((x+1)/2)2;（3）f(x)在R上的最小值为0.求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x。解：∵f(x-4)=f(2-x),∴函数的图象关于x=-1对称，∴-b/2a=-1,b=2a.由(3)x=-1时，y=0，即a-b+c=0，由(1)得f(1)≥1，由(2)得f(1)≤1，∴f(1)=1,即a+b+c=1,又a-b+c=0,∴b=1/2,a=1/4,c=1/4,∴f(x)=(1/4)x2+(1/2)x+(1/4).假设存在t∈R，只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.取x=1有f(t+1)≤1.即((1/4)(t+1))2+((1/2)(t+1))+(1/4)≤1,解得-4≤t≤0.对固定的t∈［-4,0］,取x=m，有f(t+m)≤m,即((1/4)(t+m)2)+((1/2)(t+m))+(1/4)≤m,化简有m2-2(1-t)m+(t2+2t+1)≤0解得1-t-(4t)≤1-t+4t于是有m≤1-t+4t≤1-(-4)+4t=9.当t=-4时，对任意的x∈[1,9]，恒有f(x-4)-x=(1/4)(x2-10x+9)=1/4(x-1)(x-9)≤0.所以m的最大值为９。23．（04全国）已知,是方程24410()xtxtR的两个不等实根，函数22()1xtfxx的定义域为,。（Ⅰ）求()max()min()gtfxfx；（Ⅱ）证明：对于(0,)(1,2,3)2iui，若123sinsinsin1,uuu12311136(tan)(tan)(tan)4gugugu则。解：（Ⅰ）设22121122,4410,4410,xxxtxxtx则221212121214()4()20,2()02xxtxxxxtxx则211212212122222121()()2222()()11(1)(1)xxtxxxxxtxtfxfxxxxx又12121212211()22()20()()02txxxxtxxxxfxfx故()fx在区间,上是增函数。.......5分1,,4t2222()()22()max()min()()()1tgtfxfxff2222225181(25)225162516tttttt......10分（Ⅱ）证：2221624166(1,2,3)169cos169cosiiiuu33322111111(169cos)(163939)sin)(tan)166166iiiiiiuugu....15分33322111sin1,(0,),1,2,33sin(sin)12iiiii