高中数学“三角函数的概念、图象与性质”复习

专题讲座高中数学“三角函数的概念、图象与性质”一、整体把握“三角函数的概念、图象与性质”的教学内容（一）教学内容的知识框架（二）教学内容的结构与作用由上述知识框架可知：我们将以“任意角与弧度制”、“任意角的三角函数”、“三角函数的图象与性质”为基本知识结构展开各重点内容的学习。三角函数作为高中学习的第二类基本初等函数，必然将充分体现其作为“函数”而言的一般性与特殊性。三角函数也是学习其他数学知识与方法（如三角变换、向量、解析几何、高等数学等等）的重要基础内容，在诸多其他学科与实际生活中亦有相当广泛的应用。（三）教学内容的重点、难点分析从教学内容来看，主要的重点是：任意角与弧度制的概念、任意角的三角函数概念和三角函数的图象与性质、其重要程度，从前至后，逐个递增：任意角与弧度制的概念，是任意角的三角函数的基础；两者皆为引出三角函数的图像与性质服务；而围绕三角函数图象与性质展开的教学内容（如：三角函数的周期性、三角函数图象、五点法作图、函数图象的伸缩变换、正弦型函数图象等等），几乎无一例外，都兼有应用广泛的知识性和可推广的方法性或思想性，同时，对学生而言，通过对三角函数的图象与性质的学习，也将使他们对前期学习的三角内容乃至函数内容有更为深入与全面的理解与掌握。在学习过程中的主要的教学难点是：1．直角坐标系中的任意角：“终边相同的角”与直角坐标系中角的终边所在的射线是数与形“多对一”的关系，但学生往往因为初中常用角概念的负迁移作用，对此对应关系理解不深、使用不准。教学中，应引导、帮助学生自觉克服思维定式，准确理解与应用“新”概念。2．弧度制的概念：学生往往会因为对在三角函数的研究中引入弧度制的必要性认识不够明晰，在学习初期，尽量使用自己比较熟悉的角度制而回避弧度制，在学习后期，则仅仅限于“记住”一些常用角的表示，却完全遗忘了弧度制的概念。在教学中，教师可根据学生的学业水平，设计适当的教学过程，使学生理解引入弧度制的必要性，早用、多用弧度制，切实落实常用特殊角角度制与弧度制的互化。3．三角函数线之正切线：一般来说，学生比较容易理解与掌握正弦线与余弦线，但理解与掌握正切线有一定的难度。而突破这一难点的关键在于帮助学生充分理解“有向线段的数量”及相关概念。4．诱导公式：因公式繁多，学生往往视对其的记忆为畏途，在使用时亦易混用或乱用。教学中应注意帮助学生发现并落实准确记忆诱导公式的方法。5．函数的周期性：“函数的周期性”的表述结构比较复杂，给学生准确、深入地理解概念带来不小的困难。但因为“周期性”的图象特征明显且易把握，所以，只要适当把握与“周期性”有关问题的难度，则对概念理解把握不够深入透彻也不会过于影响学生对后继课程的学习。6．函数图象的伸缩变换：对学生而言，“伸缩变换”本身，不是很难理解，但当“伸缩变换”与其他变换相结合构成复合变换时，则易暴露出学生对“伸缩变换”的理解不准确、不到位。教学中，可强化函数图象复合变换的一般方法的教学，来帮助学生克服这一学习难点。二、“三角函数的概念、图象与性质”的教学策略（一）关注“任意角”承上启下的功能我们可以从下述几个方面来看“任意角”的承上启下功能。1．初、高中角的两种常用概念的异同初中高中概念平面内具有公共顶点的两条射线形成的图形。平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。图形静态动态角度值算数量代数量取值范围R由上面的对比可见，高中阶段角的概念是初中阶段常用角的概念自然的推广。高中阶段角的概念与初中阶段相比，角的形成过程由静态到动态、角的范围由有限扩展至全体实数，这是后一阶段学习任意角三角函数与三角函数图象的基础。在教学过程中，因特别注意引导学生关注初、高中角的概念的不同，避免初中学习内容的负迁移。2．任意角的表示任意角的几何或代数表示，发展性地应用了前期学习的一些知识和方法。对这部分学习内容的准确理解，将有助于学生更为准确、深入地掌握后继的学习内容。（1）坐标系内任意角的图形表示：直角坐标系这一数形结合的工具，在初中和高中函数等内容的学习过程中，学生已经多有运用，但前期学习过程中，通常都是“一对一”的——一组坐标对应一个点，一个函数解析式对应一个图象等等。坐标系内任意角的图形表示，则是“多对一”——“多”组数对应“一”条终边。在教学中，我们可以通过多媒体演示或制作一些小课件模型来帮助学生了解与体会“任意角”所在的直角坐标系平面，是无限多“层”相联相“叠合”而成的，每一个具体的角度值，都将唯一的对应着某一“层”中的一条终边。（2）任意角的集合表示：我们可以用集合的形式来表示终边相同的角，如：，结合以前学过的集合确定性、无序性、互异性的知识，可以更好地了解集合A各种等价的表达形式。我们也经常用无数个集合的并集来表示终边落在直角坐标系中某一区域内的角。如，终边在第二象限的角，可以表示为，强调这是一种“并集”的表达形式，往往可以帮助学生更好地把握终边在某个区域内的角数与形“多对一”的含义，也更有利于在今后的学习过程中更准确地处理单调区间、解三角方程或（简单的）不等式等相关问题。（二）适度解读弧度制的意义在学习了角度制以后，为什么还要引进弧度制？一种常见的“理由”是认为角度制为六十进制，弧度制是十进制的实数，这样的解释，不甚妥当，因为我们很容易以度（）为单位，将任何一个角度值用十进制表示，如：。事实上，引进弧度制的根本原因，是角度制所表示的角度值，是一个带量纲的数量，而弧度制表示的角度值则不带量纲，如：在弧度制中，的意义非常明确，但在角度制中“”显然是一个错误的表示方式，必须表达为“”或“”等等。数学，更为关心数量之间的关系，不甚关心运算过程中量纲的变化。特别的，有不少变量关系，常常会通过角度值或角度值与三角函数值之间的运算来表达（如圆的渐开线，阿基米德螺线等等），因此，以无量纲的量来表示角的大小就成为必然的要求。但是，学生由于知识和实际体验有限，有很多能体现这种必要性的具体事例，不方便也不必要向学生介绍，因此，可以尽可能利用学生已有的数学学习经验来向学生说明引进无量纲的弧度制来度量角的大小的必要性。这里介绍一个引入弧度制的教学案例：教师请同学们快速翻阅一下“三角函数”这一章的内容，并提示：我们最终将以角度为自变量x、因变量为三角函数y，如，画出三角函数在直角坐标系内的图象。那么，x轴与y轴上的单位长度的比值如何选定是比较合理的？学了三角函数以后，研究一些常见函数与三角函数构成的组合函数也是必要的，那么，如果我们要作、的图象，怎么办呢？通过教师的引导与学生的讨论，使学生认识到，三角函数值是无量纲值，如果我们能用无量纲值来表示角度值，上述问题就比较容易解决了。通过回顾直角三角形中正弦函数的定义方法，观察以为圆心角的扇形中，如何能类比正弦值的表示方法来得到角的（无量纲）表示方法：进而引导学生了解弧度制的概念：。（三）有效发挥单位圆的作用新课程标准中关于“单位圆”的教学建议时说：“单位圆可以帮助学生直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式，以及三角函数的图象和基本性质。借助单位圆的直观，教师可以引导学生自主地探索三角函数的有关性质，培养他们分析问题和解决问题的能力。”由此可以看到，“单位圆”作为重要的数形结合工具，在帮助学生理解、掌握知识、提高能力方面，都可以发挥有效的作用。我们可以由“函数及性质”的研究为主线，来认识、把握与发挥“单位圆”在教学过程中的主要作用。1．任意角的三角函数定义：定义域、解析式与值域是研究函数的三个基本要素。将三角函数定义与单位圆相结合，显然使得这些问题的研究变得更为直观与简捷。2．三角函数性质：单位圆与三角函数线使得对三角函数的单调性、奇偶性、周期性的研究变得直观且简单。3．三角函数图象：由于借助三角函数线我们已经对三角函数的基本性质有了初步的认识，在利用“单位圆”描点作图时，“点”的选取、“图”的性质也就比较容易确定了。4．诱导公式：从函数的角度看，“诱导公式”即不同自变量的函数值之间的关系。“诱导公式”的教学过程，我们可以设计为两个角的终边具有关于坐标轴对称、关于原点对称和相互垂直关系时，利用单位圆，获得三角函数值间的关系的过程；也可以设计为利用“单位圆”这一数形结合的工具，寻求最简单三角函数方程解的结果的过程。无论是前一种由“形”到“数”的过程，还是后一种由“数”到“形”的过程，都可以在帮助学生在学习过程中提高数形结合与自主探究的能力，也会有利于学生理解与记忆诱导公式。当然，当我们借助单位圆这一数形结合的有效工具得到三角函数图象以后，上面所罗列的知识，几乎都可以从三角函数图象上体现出来，所以，单位圆在教学过程，不仅应该考虑“有效果”，也应与后继课程的教学统筹考虑，避免过于拖沓、重复，力求“有效率”。（四）突出“同角三角函数关系”中数学思想方法的应用同角三角函数关系，学生已经在初中的直角三角形学习中有所接触，学习过程中所遇到的求值、化简、证明等问题，与后面将要学习的三角变换相比，难度也不太大，但所涉及的方法，却有很多是类同的。因此，我们在教学过程中，应该注意引导学生关注初高中研究同类方法时的异同，避免初中知识的负迁移，也应注意突出数学思想方法的应用，为后继课程的学习做好铺垫。我们可以从下列几个方面注意突出数学思想方法的应用：1．程序化地思考在一些求值或化简过程中，学生往往会因为忽略了任意角的取值范围而出现错误，我们可以将这类问题的解决过程分解为两步程序：（1）确定“绝对值”，（2）确定“符号”。如：已知，求。解题过程可以分解为：（1）确定；（2）据x所在象限或半轴，确定、的符号，得出正确结果。2．转化或化归的方法在求值与证明问题时，我们常常会用“化弦”的办法解决问题，在遇到,齐次问题时，我们常常可将齐次关系转化为关于的一元关系，这样的转化，即是消元思想的应用。在处理证明问题时，我们可以用比较法，这本质上是将变形问题转化为更为简单的化简问题。3．方程思想同角三角函数关系，，可以视为是关于、、这三个变元的两个方程，所以，知其一，必可求余二。在教学过程中，不断明确指出这些思想方法的作用，既可以帮助学生较好地完成当下的学习任务，也会对学生更好地理解与掌握这些方法有帮助，进一步提高学生应用这些思想方法的自觉性。4．综合应用的一个例子例（08重庆10)函数()的值域是（B）。（A）[-]（B）[-1,0]（C）[-]（D）[-]分析：显然，当时，，可排除A选项。于是问题转化为分母应与比大小，由可知应选B。在此题中，同角三角函数关系起到了至关重要的作用，此公式中，“常数”与三角函数的平方项实现互相替换，是解决三角函数问题比较常用的方法之一。一般来说，选择有关三角函数的综合性试题时，应注意：题面可以比较新颖、解题过程综合性可以比较强，但解决问题的思路、策略，应该能体现基本的数学思想方法，有利于提高学生灵活使用基本知识方法的能力。（五）全面把握正弦函数作为“函数”的一般性与特殊性三角函数作为一种应用广泛的“函数”而言，既具有函数的“通性”，亦具有（与以前学生接触过的函数相比）自身的“特性”。我们可以用下列表格来表示在对三角函数的探究与应用时，我们在对函数的探究、应用中通常都会关心的主要问题，即所谓“一般性”，与对三角函数特别关心的问题，即“特殊性”。一般性特殊性备注定义域，解析式、值域由象限角引入的比值函数三角函数对应关系：“（无穷）多”对“一”函数性质（单调性，奇偶性等）周期性存在性命题函数图象作图利用三角函数线作图数形结合图象性质与x轴交点、对称点、对称轴周期性出现。注意：“”的应用。反函数*已知三角函数值求角。限制定义域后，才可有反函数。组合或复合函数“值域”与“换元法”，函数的周期性……关注基本模型，难度适可而止。关于上述表格的补充说明：1．关于定义域、解析式、值域由象限角引入的正弦函数，使我们面临两个直角坐标系——象限角所在的直角坐标系与的图象所在的直角坐标系，这两个“系”中，此x非彼x，此y彼y，此“象限”也非彼“象限”，在教学之初，应明确指出期间的联系与差别，以避免学生混用。多对一的（函数）对应关系