高中数学“解析几何初步”复习

专题讲座高中数学“解析几何初步”一、对“解析几何初步”数学知识的深层次理解（一）“解析几何初步”知识结构解析几何初步的内容在新课标中安排在必修课程的必修2中.解析几何初步的内容是一个承上启下的内容.学生在七年级学习过数轴，这是一维的坐标系，当时学生的注意力集中在：数与数轴上的点的对应关系.开始是有理数和数轴上的点的对应关系，后来学习了实数之后，确认了实数与数轴上的点一一对应.学生对于数轴可以确定一维空间的点的坐标的认识还处于初级阶段.到了九年级，学习了平面直角坐标系，由两个互相垂直的数轴按照一定的规则组成平面直角坐标系，这时学生对于坐标系可以确定点的位置的认识有明显的提升.加上初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数的图像，在平面直角坐标系下，学生不仅学习了平面上的点与有序数对的一一对应的关系，还初步体验了曲线与方程的概念，这种感受还停留在直观的、具体的认识，还缺乏理论上的认识.解析几何初步的内容在结束时，以长方体为模型，建立了空间直角坐标系.充实和完善了直角坐标系，为在高校进一步学习空间解析几何奠定基础.解析几何初步的内容在建立了直角坐标系之后，重点研究了两类曲线：直线和圆.通过这两种曲线的研究，渗透曲线与方程的概念.对于生源较好的学生，也可以尝试调整教学内容的顺序，先讲曲线与方程的概念，再讲直线和圆的方程.这两种不同的方案，一种是由特殊到一般，另一种是由一般到特殊.课程标准的设置也考虑到有些学生接受曲线与方程的概念有一定的困难，所以在文科的选学系列中没有设置曲线与方程的内容.（二）感悟解析几何的学科特点从本讲开始，正式进入解析几何的学习，解析几何学科的特点是运用代数的方法来研究几何图形的性质.具体的说：过去研究两条直线是否平行，我们通常是使用平行线的判定定理：同位角相等，则两直线平行；内错角相等，则两直线平行；同旁内角互补，则两直线平行.在解析几何中，判断两条直线的位置关系，则是依据两条直线的斜率，当两条直线的斜率存在时，依据斜率与截距就可以判断两条直线是否平行；再例如，过去判断直线与圆是否相切，依据切线的判定定理；现在则可以通过联立直线与圆的方程，通过解方程组，得出方程组的解得个数确定直线和圆的位置关系.平面直角坐标系不仅能够使平面上的点与有序数对建立一一对应的关系，还可以将曲线与方程之间建立一一对应的关系，这种关系可以进一步将图形的几何性质和一些数量之间的关系建立起一种对应的、必然的、因果的关系.（三）体会几何证明的新思路例1三角形中位线定理的证明.命题得证.三角形的中位线定理的证明在初中阶段已经学过，当时是利用添加辅助线的方法解决，如果没有教师的启发和引导，学生很难想到添加辅助线的方法.现在我们借助平面直角坐标系以及相关的知识，回避了学习的难点，学生在使用解析法解完这个题之后，确有柳暗花明又一村的感觉.例2证明：三角形的三条高线交于一点.用代数的方法研究几何图形的性质，首先要建立平面直角坐标系.坐标系建立的方式也是有讲究的，我们的原则是在坐标系建立之后，尽可能的使研究对象的坐标、方程简捷.例2中，可以以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立如图坐标系.此外我们也可以以AB所在的直线为x轴，过点C与AB垂直的直线为y轴，建立如图坐标系.无论是第一种建立坐标系的方法还是第二种建立坐标系的方法，都是使得三角形的三个顶点的坐标中，0出现的次数比较多，这样运算起来就很简捷.命题得证.通过以上两个例题，学生对解析几何的基本思想“用代数的方法研究几何图形的性质”可以有一个初步的、直观的认识.（四）教学内容的重点、难点本讲的教学重点是：直线的方程、圆的方程；从知识结构图中我们可以看出，本讲的知识主要是三个方面.其一是两点间的距离公式、线段的中点的坐标公式等与直角坐标系有关的基础公式；其二是直线方程的有关知识；其三是与圆的方程有关的知识.对于直线方程的几种形式，课程标准的要求是：掌握点斜式、两点式及一般式，体会斜截式，根据我们的教学实践，建议让学生掌握：点斜式、斜截式、截距式、一般式.对于两点式可以略讲，在实际的应用过程中，两点式的问题都可以转化为点斜式，而截距式有其使用方便的特点，建议有条件的班级，教师可以予以补充.对于圆的方程的学习，课程标准的要求是：掌握圆的标准方程与一般方程.在这个内容的要求上，建议遵循课程标准的要求，不建议对课程标准的内容进行增删.有些教师在教学中引导学生探求：以A（x1，y1）、B（x2，y2）两点为直径的圆的方程，这种做法我们认为是正确的，高中阶段引导学生探究问题，有助于培养学生的抽象概括能力，有助于学生思维能力的提高.这是体现素质教育的一种做法.但是如果要求学生记住这个结论，在今后的解题中使用使用这个结论，无疑是加重了学生的学习负担，同时，教学设计的目的也发生了变化，这种做法是不应该提倡的.本讲的难点是：用代数的方法研究几何图形的性质.对于难点的突破，教师不要急于求成，学生对于一门学科特点的体会和掌握，绝非一朝一夕可以完成的.从另一个角度说，教师的引导和示范也是非常必要的.我们在上面一个问题中谈到的用解析法证明几何问题，一方面是为教师提供一些素材，针对所教班级学生的基础情况，可以选择一些他们力所能及的平面几何题进行证明，一方面有助于我们突破解析几何教学的难点，让学生在实践中感受如何用代数的方法研究几何图形的性质，另一个方面，也为选修4-1《几何证明选讲》的学习提供一些帮助.二、“解析几何初步”的教学策略以及学生学习中常见的错误与问题的分析与解决策略（一）重视曲线与方程的教学曲线与方程的概念是解析几何学科的理论基础.这部分内容在教材中的位置是发生过变化的.课标之前的教材基本上是将这部分内容安排在直线的方程之后.学生对曲线与方程的概念有了初步的直观的认识之后再提出理论上的要求.新的课程标准是将这部分移到选修2系列.这样的做法目的有两个，首先是让学生增加了直观感受，在正式学习概念之前，有大量的实例作铺垫.在学习了直线和圆的方程之后，才接触曲线方程的概念.这样学生在理论上认识曲线与方程的概念之前就已经有两种曲线的感性的认识.认识的基础比以前更加雄厚了.第二个目的就是改变了文、理科学生相同的要求的现象.课程标准之前的教学大纲对文科、理科的学生在这方面的要求是相同的.现在文科学生的选修1-1中删去了曲线与方程的内容，一方面不影响文科学生对圆锥曲线的研究，另一方面体现了文科、理科学生在数学学习上要求的差异.对于理科学生从理论上尽可能的完善，而对文科学生的要求则侧重在具体的曲线特性的研究.曲线与方程的概念一共两句话，曲线上每一个点的坐标都适合方程；以方程的任一组解为坐标的点都在曲线上.在学习曲线与方程的概念的时候，教师一般都会注意纯粹性与完备性，会从各个不同的角度设计例题，来巩固落实概念.然而在结合具体的曲线学习的时候，教师对曲线与方程的概念的强调会有不同程度的削弱.求：点P的坐标.教学的对策，首先教师还是应该注重概念的教学，注重过程的教学.让学生从不同的角度认识曲线与方程的概念，分析上述例题的解题思路也是对概念深化理解的一种方式.对于第二个问题，我们认为，在高中的数学学习中，学生应该具备一定的抽象能力.教师在例题的选择过程中，有意识的增加抽象的题目的比例.例3的难度比较大，可供学有余力的同学研究.（二）体会用代数的方法研究几何图形的过程前面已经提到教师可以适当增加平面几何问题的解析法证明.有一些教师因为工作需要一直在高中任教，缺乏对整个中学教材的全面了解.在对教材的把握上很难做到得心应手，翻转自如的境地.特别是数学的许多内容，初中、高中的教学内容有千丝万缕的联系，把握不好，教学中教师就陷入被动的地步.例如：初中阶段学生已经学习了一次函数、反比例函数、二次函数的知识，对于上述函数的图像已经比较熟悉，如果我们在高中讲解直线方程的几种形式时，把学生的认知基础当成零来处理教材，显然是不恰当的.如果我们适量的引入一些几何证明的问题，学生会觉得亲切，与以往的知识建立了联系.如果题目选的恰当，恰当的标准是所选的题目使用传统的、学生熟悉的演绎推理的方法很难解决，但是使用解析法很简单，想要做到这一点，需要教师研究初中的教材，积累相应的资料，才能在教学中得心应手.下面再举两个例题例4的想法同上，但是难度比之前的例题要大，可供学有余力的同学去挑战.（三）辨析、掌握直线与圆的方程的不同形式直线的方程有许多不同的形式.通常在这一部分的要求是3~5种.对于直线方程的5种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式我们有如下的建议.首先直线方程的斜截式在初中阶段学生已经熟悉，甚至学生对于k和b的几何意义都很清楚.建议教师可以用复习的形式讲解直线方程的斜截式.点斜式应该作为新课重点的讲解.原因是这种形式学生在初中阶段的学习中没有接触过.第二，直线方程的两点式、斜截式都可以轻而易举的转化为直线的点斜式来解决.截距式的要求在降低，教师可以结合学生的情况适当的补充即可.第三，直线方程的一般式是理论讨论和统一结论形式的需求，学习的开始阶段，可以要求学生将所求直线方程的结果一律写成一般式的形式.直线l的方程为________________.拿到这样一个题目，面临的第一个问题就是选择直线方程的哪一种形式？根据已知条件，所求直线经过已知点（0，0），分析直线方程的五种形式，建议选择点斜式或者两点式，优点在于已知条件可以得到充分的运用.如果不讲两点式，选择的结果就单一了，这样的做法有利于中等学生的学习.在这一阶段的学习过程中，学生对于直线方程还是处于半生不熟的状态，解题时难免顾此失彼.经常容易出现的问题是忽略直线的斜率不存在的情况.教师在这时要注意抓住机遇，培养学生分类讨论的数学思想.学生在初中接触过分类讨论的思想，主要是对于绝对值问题的讨论，正数的绝对值等于他的本身，附属的绝对值等于他的相反数，然而对于这类问题学生还是陌生的.数学思想的培养不是一蹴而就的，需要一个比较漫长的阶段，在这个过程中，学生可以从模仿开始，在模仿中感悟，逐步由被动到主动，教师的示范和引导、启发就显得尤为重要.教师要有强烈的意识：在传授知识的同时，渗透数学思想，教授数学方法，进而实现对学生能力的培养.的距离相等，则m的值为________.在解析几何初步的学习中，分类讨论不局限于只是代数中字母取值的限制.要结合题目的特点去分析.例2的条件是实质一个几何的条件，点A和点B的不同位置直接影响问题的答案.当点A和点B位于已知直线的同侧，可知AB平行于已知直线；当点A和点B位于已知直线的异侧，可知AB的中点在已知直线上.圆C的方程为_______.圆的方程有两种形式：圆的标准方程和圆的一般方程.解题之前，应该选择一种简捷的方式.对于例3来说，已知条件中涉及到圆心、半径，使用圆的标准方程会简捷一些.有比较才有鉴别.建议学习圆的方程的开始阶段，对于同一个题目，让学生使用圆的标准方程和圆的一般方程分别给出解答，让他们在解题的过程中感悟不同的选择带来的不同结果，进过这样的教学，学生会逐步养成主动选择简捷的解题策略的习惯.（四）数学思想的培养数学思想的培养需要一个长期的过程.同时需要教师有意识的结合教学内容积极地渗透和培养.有时教师在一节课的教学目标中设置：培养“%￥#”的数学思想，我们认为是不妥当的，数学思想的形成绝不是一节课就能完成的.原则上说，每个教学内容都可以与多种数学思想方法结合起来.但是不同的内容，与各种数学思想的结合密切程度有所区别.在解析几何的学习中，数形结合的思想显得更为突出.因为解析几何就是用代数的方法研究几何图形的性质，数形结合自然成为这门学科重点需要培养的数学思想.同一个事实，从数和形两个角度看，有不同的表象.例如两条直线垂直，从形的角度看，是两条直线相交成直角，但是从数的角度研究，就是两条直线的斜率乘积等于-1.又例如在平面几何中，我们判定直线与圆相切，利用的是判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；而在解析几何中，我们通常是利用计算圆心到直线的距离，依据这个距离与半径之间的关系判断直线与圆的位置关系.其次，方程的思想也是解析几何中的重要思想.解