高一数学竞赛训练题

竞赛练习题（2012,0504）1已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。2设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)=fi(x)；（2）对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。3已知函数)(xfy的定义域为)()(].1,1[axfaxf求的定义域，其中0a4设*,1Nxa，求证)()1(1axaaxx5若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为（A）A.764cm3或586cm3B.764cm3C.586cm3或564cm3D.586cm36将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有222种．7已知函数()21,(),fxxgxxxR，数列{},{}nnab满足条件：*111,()(),nnnaafbgbnN．(1)求证：数列{1}nb为等比数列；(2)令12,nnnnncTaa是数列{}nc的前n项和，求使20112012nT成立的最小的n值．8.已知数列{}na的首项1133,,1,2,.521nnnaaana求{}na的通项公式；证明：对任意的21120()121(1)3nnxaxnxx，，，，．9.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？10.如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱的底面内，并且底面是正三角形，如果圆柱的体积是v，底面直径和母线相等，求三棱柱体积是多少？11.已知：函数()fx对一切实数,xy都有()()fxyfy(21)xxy成立，且(1)0f.（1）求(0)f的值。（2）求()fx的解析式。（3）已知aR，设命题P：当102x时，不等式()32fxxa恒成立；命题Q：当[2,2]x时，()()gxfxax是单调函数。如果命题P和命题Q有且只有一个成立，试求a的取值范围12.向量a，b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1（1）当|a＋tb|取得最小值时，求t的值；（2）当|a＋tb|取得最小值时，证明：b⊥（a＋tb）13、数列｛an｝是各项均为正数的等差数列，前n项的和为Sn。数列｛bn｝是等比数列，且满足111ba，33bS＝144，{}nab的公比＝16，求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式。