高考数学复习单元训练：计数原理

高考数学单元训练：计数原理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设221(32)nxdx，则nxx)2(展开式中含2x项的系数是()A．-80B．80C．-40D．40【答案】D2．用四种不同颜色给四棱锥S-ABCD的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有()种[来源:学,科,网]A．64B．72C．108D．168【答案】B3．某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现选派5人参加一项活动，要求正、副班长至少有1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四种计算方法：①1423248248CCCC；②555048CC；③14249CC；④14324948CCC。其中正确算法的种数为()A．0B．1C．2D．3【答案】D4．正五边形ABCDE中，若把顶点,,,,ABCDE染上红，黄，绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不同，则不同的染色方法共有()A．30种B．27种C．24种D．21种【答案】A5．若222CA42n，则!3!3!nn的值为()A．6B．7C．35D．20【答案】C6．如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)．如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法的种数共有()A．20种B．16种]C．12种D．8种[来源:Zxxk.Com]【答案】B7．现有5男6女共11个小孩做如下游戏：先让4个小孩（不全是男孩）等距离站在一个圆周的4个位置上，如果相邻两个小孩同为男孩或同为女孩，则在他（她）们中间站进一个男孩，否则站进一个女孩，然后让原来的4个小孩暂时退出，即算一次活动.这种活动按上述规则继续进行，直至圆周上所站的4个小孩都是男孩为止.这样的活动最多可以进行()[来源:学科网ZXXK]A．2次B．3次C．4次D．5次【答案】C8．(1)naxby展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则,,abn的值可能为()A．2,1,5abnB．2,1,6abnC．1,2,6abnD．1,2,5abn【答案】D9．612x展开式中2x的系数为()A．15B．60C．120D．240【答案】B10．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从0，1，2，3，4，5，6这七个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有()A．105个B．70个C．55个D．40个【答案】C11．二项式41xx的展开式中的常数项是()A．12B．6C．2D．1[来源:学#科#网]【答案】B12．设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有()A．45个B．81个C．165个D．216个[来源:学_科_网]【答案】C[来源:学+科+网Z+X+X+K]第Ⅱ卷(非选择题共90分)[来源:学#科#网]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．正方体木块1111ABCDABCD的表面上有一动点P由顶点A出发按下列规则向点1C移动：①点P只能沿正方体木块的棱或表面对角线移动；②点P每一变化位置，都使P点到点1C的距离缩短，③若在面对角线上移动时，不能在中点处转入另一条面对角线，动点P共有____________种不同的运行路线．【答案】1214．若1223211C3C3C3C385nnnnnnnL，则n____________．【答案】415．若对于任意实数x，都有2344012342222xaaxaxaxax，则3a的值为.【答案】-816．在323(1)(1)(1)xxx的展开式中，x的系数为_(用数字作答).【答案】4三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．用0，1，2，3，4，5这六个数字：(1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？[来源:学科网]【答案】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有35A个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有14A种）,十位和百位从余下的数字中选（有24A种），于是有1244AA·个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有1244AA·个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数：3121254444156AAAAA··个．(2）符合要求的五位数中5的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有45A个；个位数上的数字是5的五位数有1344AA·个．故满足条件的五位数的个数共有413544216AAA·个．(3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共1345AA·个；第二类：形如14□□，15□□，共有1224AA·个；第三类：形如134□，135□，共有1123AA·个；由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：131211452423270AAAAAA···个．[来源:Zxxk.Com]18．给出五个数字1，2，3，4，5；(1）用这五个数字能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2）用这些数字作为点的坐标，能得到多少个不同的点(数字可以重复用)?【答案】（1）用1，2，3，4，5组成无重复数字的四位偶数可分为以下两步：第一步从2，4中选一个作为个位，有2种不同的选法；第二步从余下的四个数中选3个分别作为十位、百位和千位共有2434A种不同的选法。由分步计数原理得共可组成24×2=48个不同的四位偶数。（也可直接用分步计数原理得2×4×3×2=48）.(2）由分步计数原理得：第一步从1，2，3，4，5中任选一个作为点的横坐标，有5种不同的选法；第二步从1，2，3，4，5中任选一个作为点的纵坐标，也有5种不同的选法；所以共可组成5×5=25个不同的点。19．给定数字0、1、2、3、5、9,每个数字最多用一次(1）可能组成多少个四位数？（2）可能组成多少个四位奇数？(3）可能组成多少个四位偶数？（4）可能组成多少个自然数？【答案】(1)300(2)192(3)108(4)163120．已知nnxxf)1()(，n∈N*.(1)若)(3)(2)()(654xfxfxfxg，求)(xg中含2x项的系数；(2)若np是)(xfn展开式中所有无理项的系数和，数列}{na是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：np)1(21naaa≥(1＋1a)(1＋2a)…(1＋na)．【答案】(1)g(x)中含x2项的系数为C44＋2C45＋3C46＝1＋10＋45＝56.(2)证明：由题意，pn＝2n－1.①当n＝1时，p1(a1＋1)＝a1＋1，成立；②假设当n＝k时，pk(a1a2…ak＋1)≥(1＋a1)(1＋a2)…(1＋ak)成立，当n＝k＋1时，(1＋a1)(1＋a2)…(1＋ak)(1＋ak＋1)≤2k－1(a1a2…ak＋1)(1＋ak＋1)＝2k－1(a1a2…akak＋1＋a1a2…ak＋ak＋1＋1)．(*)∵ak＞1，a1a2…ak(ak＋1－1)≥ak＋1－1，即a1a2…akak＋1＋1≥a1a2…ak＋ak＋1，代入(*)式得(1＋a1)(1＋a2)…(1＋ak)(1＋ak＋1)≤2k(a1a2…akak＋1＋1)成立．综合①②可知，pn（a1a2…an＋1）≥（1＋a1）（1＋a2）…（1＋an）对任意n∈N*成立．21．已知nxx)21(4的展开式前三项中的x的系数成等差数列．[来源:Zxxk.Com]①求展开式里所有的x的有理项；②求展开式中二项式系数最大的项．【答案】(1)n=8,r=0,4,8时，即第一、五、八项为有理项，分别为.2561,835,24xxx(2）二项式系数最大的项为第五项：.835x22．已知在333nxx的展开式中，第7项为常数项，(1）求n的值；(2）求展开式中所有的有理项.【答案】1）6662666337333nnnnTCxCxx，由623n=0得12n；(2）122123311212333rrrrrrrTCxCxx，122,,0,1,2,,123rmmZr得到0,3,6,9,12r34326611121120,;3,3;6,3;rTxrTCxrTC99212411219,3;12,3rTCxrTx.