第四届湖北省兴奥杯物理联赛决赛试题

第四届湖北省兴奥杯物理联赛决赛试题（高一）（考试时间2006年5月13日9:00～12:00满分160分）一、（20分）最大与地面成什么角度抛出石头，才能使石头在运动过程中始终远离地面上的抛出点？（不计空气阻力）二、（20分）有一双星系统，二星体的质量均为M，两星相距为l，绕双星的质心作圆运动．（1）试求此双星运动的角速度大小；（2）假设一陨石（相对于双星质量很小）以垂直于双星的连线方向运动，并通过双星的质心，若该陨石要能够脱离双星的引力场，那么陨石在双星质心处的速度至少应为多少？三、（20分）一均匀棒子，长度为L，质量为M，静置于两圆柱形支架A及B上．支架B以一恒定速度向A移动，而支架A则保持静止，如图所示．开始时，支架A距左端点为a，支架B距右端点为x，且知棒子与支架间的动摩擦及静摩擦因数分别为μk和μs．（1）试求两支架分别作用在棒子上的支持力NA和NB；（2）当支架B移动某一位置时，我们发现棒子不再是静止不动的了，试分析其原因，并求出棒子刚要开始移动时，B的位置．四、（20分）质量线密度相同（单位长度的质量相同），但长度未必相同的三根细棒若能构成一个三角形，试确定此三角形框架的质心位置．五、（25分）长为L的杆AO用铰链固定在O点，以角速度ω围绕O点转动，在O点的正上方有一个定滑轮B，一轻绳绕过B滑轮的一端固定在杆的A端，另一端悬挂一质量为M的重物C，O、B之间的距离为h，求：（1）当AB绳与竖直方向成θ角时，重物的运动速度；（2）若此时绳与杆正好垂直，试求绳上的张力？六、（25分）在汉水之滨、龟山之颠有一项“刺激性”的游乐项目——蹦极．游乐者乘缆车到达汉江边的高空中，将一跟长30m的弹性绳的一端捆在身上，绳的另一端固定在缆车上．人从高空的缆车上跳下，到达最下端（可以保证不会触地）后，被弹性绳拉回，又上升到最高点；再落下，再拉回．如此反复上下大幅度运动，直到最后停下来．已知人最后停下来时绳长为50m，若不考虑空气阻力和人身高的影响，试求人从缆车上开始下落至第ABθωOCMLBA一次到达最低点所经历的时间．（取g=10m/s2）七、（30分）n块相同的木块，每块的质量都是m，长度都为l，放置在倾角为θ的斜面上，相邻两木块间的距离为l，最下端的木块到斜面底端的距离也是l，如图所示．已知木块与斜面间的滑动摩擦力与最大静摩擦力相等．在开始时刻，第一木块以初速度v0沿斜面下滑，其余所有木块都静止；在每次发生碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动．已知当摩擦因数为μ时，最后第n个木块到达斜面底时，刚好停在底端．⑴求在整个过程中由于碰撞而损失的总机械能；⑵求每次碰撞过程中损失的机械能与碰撞前动能之比；⑶若n=5，l=0.10m，v0=4ms-1，θ=30°，重力加速度g=10ms-2，求木块与斜面间的滑动摩擦因数μ．第四届湖北省兴奥杯物理联赛决赛试题参考答案及评分标准（高一）一、【解】使用如图所示的坐标系，石头的运动可以由下面的关系表示0cosxtv①201sin2ytgtv②0cosxvv③0sinygtvv④当石头的速度垂直于其位置矢量时，石头距离原始位置最远．这种情况发生的条件为xyxyvv⑤由此可以得出时刻t的二次方程220023sin20ttggvv⑥如果这种情况不会发生，则上面方程的判别式为负，即220023sin2()4()ggvv⑦由此，要使石头始终远离抛出点，必须有8sin0.949，即α70.5°⑧二、【解】（1）双星之间的相互吸引力提供它们作圆周运动的向心力，2222MlGMl①得32GMl②（2）若该陨石要能够脱离双星的引力场，它的动能必须大于它在该处的势能，设该陨石的质量为m，则21222MmmGlv③即min8GMlv④三、【解】（1）棒子的受力情况如图所示，由力的平衡：NA+NB=Mg①fs=fk②由力矩平衡，选A为参考点，有()()2BLMgaNLax③ABNANBfsfkMgvxvyvsxyαv0xy可得2BLaNMgLax④代入①可得2ALxNMgLax⑤（2）因为kkBfN，ssAfN，又maxssAfN，于是2kkLafMgLax，2ssLxfMgLax开始时，fk=fs，随着x↑，NB↑，fk↑．若要保持平衡，则fs必须增大，当fs达到fsnax后，此二摩擦力无法平衡．当maxksff时，棒子开始移动．⑥22ksLaLxMgMgLaxLax⑦此时()22ksLLxa⑧四、【解】设细棒的质量线密度为，三根棒的长度分别为a、b、c，则三根棒的质心分别位于各自的中点，且质量分别为a、b、c，我们可以将原三根细棒看做三个质量和位置均如前述的质点，则原系统的质心即为此三质点系的质心．三质点构成的三角形如图中虚线所示．①a与b的质心位于连线某点P处，按图示应有()()axby得22xbbyaa②这表明P必在三质点构成的三角形顶角之平分线上．P与c的质心即为系统的质心．后者必在此对角线上．③同样处理b与c的质心，必在相应的另一条对角线上，系统质心也必在此对角线上．综上所述，原三角形框架的质心位于以各边中点构成的小三角形的内心之上．五、【解】（1）如图，A点的速度为vA=ωL①由△OAB可知sinsinLhsinsinhL②因为β=22或2所以cossin③sincosMALhLvv④（2）因为此时绳与杆正好垂直，而OA杆作匀角速度转动，可知0，即cosAMLvv⑤aλbλcλa/2b/2PxyLOBAωLδhβθα显然重物具有最大的上升速度，即此时重物的加速度恰好为0Ma⑥因此绳上的的张力为TMg⑦六、【解】由题设已知，弹性绳的自由长度l0=30m，而人静止悬挂在绳上时的绳长l=50m，设人的质量为m，弹性绳的劲度系数为k，由静力平衡知0()kllmg①人在下落至绳刚好拉直前的运动为自由落体运动，故所经历的时间为0126s=2.45sltg②不难证明，绳拉直后向下的运动为简谐运动，其平衡位置正好在人最终停下来的位置，即绳长l=50m的位置。令这一简谐运动的振幅为A，由功能关系知201()()2mgAlkAll得22040mAll③显然，绳刚好拉直时，人振动的初相位满足01cos2llA即1arccos23④而该系统做简谐振动的周期022llmTkg⑤可知人由绳刚拉直运动到低点所需的时间为02222s=2.96s233llTtg⑥可知人从缆车上开始下落至第一次到达最低点所需的时间为125.41ttts⑦七、【解】⑴根据题意，第n个木块被碰以后，木块运动到斜面底端时正好停下，表明木块沿斜面做减速运动，减速运动的加速度大小为sincosgga[1]这个加速度与质量无关，不难看出，从第1个木块下滑开始的整个过程中，每一木块除了碰撞的瞬间外，下滑的加速度的大小均为a，方向沿斜面向上．在整个过程中，第n个木块运动的距离为l，第n-1个木块运动的距离为2l，…第1个木块运动的距离为nl，因此除了碰撞的瞬间外，各木块克服合外力做的功(1)(123)2nnAmanlmal[2]整个过程中，各次碰撞损失的机械能的总和2012EmAv[3]由以上各式得201(1)sin(1)cos222nnEmnmglnmglv[4]⑵考察质量为M、速度为v的物块与质量为m的静止木块做完全非弹性碰撞，由动量守恒定律()MMmuv[5]碰撞中损失的机械能2211()22EMMmuv[6]由[5]、[6]两式得mMmEE[7]式中E为碰撞前的动能212EMv，由此得到每次碰撞中损失的机械能与碰撞前动能之比为11iEEii,i=1,2,…,n-1[8]⑶设第i次碰撞后，相撞物块的动能为Ei’，则有1iiiiiEEEEi[9]第i次碰撞前的能量Ei与第i-1次碰撞后的能量Ei-1’的关系为1iiEEimal[10]由[9]、[10]两式得1()1iiiEEimali[11]若木块数n=5，则只能发生4次碰撞，即只能取1、2、3和4，由[9]、[10]、[11]式得到i=1,101()2EEmal因为第一次碰撞前未发生碰撞，故式中20001'2EEmvi=2,210215'('2)333EEmalEmali=3,3203114'('3)444EEmalEmali=4,4304130'('4)555EEmalEmal[12]第4次碰撞后，5个木块剩余的能量为E4’，在向斜面下端移动l距离后，这些能量全部用于克服外力做功，即45Emal[13]以[12]式代入并注意到20012Emv，就得到20tan110cosglv[14]代入数据得μ=0.745[15]