第六届“锐丰杯”初中数学邀请赛试题

第六届“锐丰杯”初中数学邀请赛试题(满分150分)一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分，每题有且只有一个答案）1．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如图是一个正方体的表面展开图，若图中的“仲”在正方体的后面，则此正方体的前面是（）A、仲B、元C、中D、学（第1题）（第3题）（第6题）2．若1ab，且有2201060aa及26201010bb，则ab的值是（）A、6B、16C、2010D、620103．如图，以正方形ABCD的边BC为直径作圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB于点E，则ΔDAE与直角梯形EBCD周长之比为（）A、3：4B、5：6C、4：5D、6：74.现有一列数123200820092010,,,,,,aaaaaa，其中23120101,7,9aaa，且满足任意相邻三个数的和为相等的常数，则1239899100aaaaaa的值为A、0B、40C、32D、265．方程1)1(32xxx的所有整数解的个数是（）A、5个B、4个C、3个D、2个6．如图，直线DEBC与不平行，已知A为线段DE上一点且满足1,0DAnAEn，设△DBC、△ABC、△EBC的面积分别为S1、S2、S3，则满足S1、S2、S3之间的关系式2131nSSSn的点A为：A、只能是线段DE的中点B、线段DE的中点和三等分点C、线段DE上除两端点外任意一点都满足；D、线段DE上满足n为整数的点广仲元东中学学校准考证号姓名……………..………….密………………..…………….封……………………………..线…………………….座位号二、填空题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）1．观察下面表格中数字的规律，如果4018在表中排在第m行第n列，则mn_______列行第1列第2列第3列第4列第5列第6列…第n列第1行1357911第2行2610141822第3行41220283644第4行82440567288…第m行2．若函数25443kxykxkxk中自变量的取值范围是一切实数,则实数k的取值范围是.3．规定一种运算“”：对于任意实数对),yx（恒有)1,1(),(),(2yxyxyxyx。若实数ba,满足),,(),(),(abbaba则a，b.4．如图，点A、C在反比例函数302yxx的图象上，B、D在x轴上，△OAB，△BCD均为正三角形，则点C的坐标是.5．已知t是实数，若,ab是关于x的一元二次方程240xxt的两个非负实根，则22(4)(4)ab的最大值与最小值的差为____________.6．如图，一个半径为1的圆纸片，第一次剪去半径为21的圆，得到的图形P1的面积为S1，第二次剪去半径为41的圆，得到的图形P2的面积为S2，第三次剪去半径为81的圆，得到的图形P3的面积为S3，…，依此，第n次剪完后得到的图形Pn的面积为Sn则20092010______SS……P1P2P3二、解答题（本大题共3小题，共60分）1．学生节活动有一个抽奖节目，给每个游戏者一个均匀色子（正方体，六个面分别是1到6这六个数字），分别丢两次，则朝上一面的两个数字和如果大于或等于10，或者两数字和小于或等于3都算中奖。问：（1）丢两次的数字之和共有多少种不同的和？分别是什么？（2）中奖的概率为多少？2．△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，G是EF上的一点，且DG⊥EF。（1）连结DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连结BN、CK．是否存在三个三角形，使得它们彼此都相似？证明你的结论；（2）求证：DG平分∠BGC．3．金秋仲元，绿荫有情，湖水弄波，盛装以待，宾朋汇聚，相约一个共同的庆典——2009年广东仲元中学七十五周年华诞。近年来仲元中学共有14位同学荣获理科综合省状元。各学科竞赛国家级、省级奖数不胜数……闪光的奖牌，凝聚着智慧与汗水；诸多的殊荣，彰显厚重与气度。而数字2009在数学上也有着它特别的性质。就如有些自然数可以分成两个自然数的平方和，如：5=12+22，13=22+32，41=42+52，65=42+72，……，请你探究：2009能分成两个自然数的平方和吗？若能，请写出来；若不能，请说明理由。参考答案一、选择题DADDBA二、填空题1．20102．0k3．-1，14．261,3225．33166．40202三、解答题1．解：以第一次丢出的数字为列，第二次丢出的数学为行，则两次丢出数学之和可表示为下面表格123456123456723456783456789456789105678910116789101112(1)由表可知数字之和有：2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11种。……10分(2)中奖的情况：小于等于3的有三种，大于等于10的有6种共有9种中奖情况，总共有36种抽奖的结果，所以中奖的概率为91364……20分2．(1)连结DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连结BN、CK．则有Rt△BFN∽Rt△BDN∽Rt△DEG，或Rt△CEK∽Rt△CDK∽Rt△DFG。证明略。……8分(2)证明：Rt△BFN∽Rt△DEG，2BFNFDFDEGEGE……10分Rt△CEK∽Rt△DFG，FGEDFGEKDFCE2……12分∴BF·GE=12DF·DE=CE·FG……15分∴GEFGCEBF，而∠BFG=∠CEG∴△BFG∽△CEG，……18分于是∠BGF=∠CGE．∵DG⊥EF,∴∠BGD=∠CGD.即DG平分∠BGC．……20分3．若能，这两个自然数必然一奇数一偶数。不妨设2009=（2n+1）2+（2m）2…………………………（※）其中m，n为自然数。……4分化简方程（※）得m2+n2+n=502………………………………对方程进行变形，得如下两个等式：m2=502－n（n+1）…………………………n（n+1）=502－m2…………………………………6分首先，由式可知，m必然是偶数。因为n和n+1是连续自然数，n（n+1）必是偶数，所以502(1)nn必是偶数。即m2必是偶数，于是m必是偶数.……8分再由得，25020m，所以，023m.综上可知，m的可取值是2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22.……10分因为n是自然数，所以计算这些方程的根的判别式Δ=1+4（502－m2）只要找到m取哪些值能使Δ的值为完全平方数即可.列表如下m246810121416182022m24163664100144196256324400484Δ199319451865175316091433122598571340873※※※※※※35※※※※从表可以看出，当m=14时，Δ是完全平方数。……18分此时自然数n=17，2n+1=35,2m=28.所以2009=352+282.……20分