第二十三届2012年希望杯数学竞赛试题-高二第二试

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二第2试2012年4月8日上午9：00至11：00得分一、选择题（每小题4分，共40分。）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。1.已知集合{|05,}PxxxZ，2{|1,}QyyxxP，则PQ中的元素个数是（）()3A()6B()8C()9D2.方程131logsin()22xx的实根的个数是（）()2A()4B()6C()8D3.命题:p不经过第一象限的图象所对应的函数一定不是幂函数，命题:q函数2yxx的单调递增区间是[2,0)[2,)，则下列命题中，真命题是（）()Apq()()Bpq()()()Cpq()()Dpq4.设,ac是正实数，则对于每个实数t，抛物线2yaxtxc的顶点在xOy平面内组成的图形是（）()A一条直线()B一条抛物线()C一条抛物线的一部分而不是全部()D双曲线的一支5.Theminimumvalueofthefunction22254yxxxis（）()4A()32B()25C()17D6.若对于任意实数x，都有25242ttxx恒成立，则t的取值范围是（）()[1,4]A()[4,1]B()(,1][4,)C()(,4][1,)D7.已知数列{}na的通项公式为11*42()()()93nnnanN，则数列{}na（）()A有最大项，没有最小项()B有最小项，没有最大项()C既有最大项又有最小项()D既没有最大项也没有最小项8.已知函数2221tan()()1tanxfxx，则()fx的最小正周期是（）()2A3()2B()C()2D9.双曲线2212yx在点(2,2)处的切线方程是（）()2Ayx()32Byx()22Cyx()232Dyx10.已知向量(2,0),(2,2),(2cos,2sin)(02)OAOBBC，则向量OA与OB的夹角的取值范围是（）711()[,]66A711()[,]1212B25()[,]33C57()[,]44D二、填空题（每小题4分，共40分）11.函数()ln1xfxx的定义域是12.三角式6tan1042cos80的值等于13.已知数列{}na中，1112,1nnnaaaa，记数列{}na的前n项的乘积为n，则201214.Howmanypositiverootsdoestheequation2012201211()2022xxxhave?15.不等式cos222cos1的解集是16.已知向量,,abc是三个具有公共起点的非零向量，且2,2,ab又1,(,)3abacbc，则当7ac时，向量a与c的夹角是17.若数列{}nx满足条件21113,2nnnxxxx，则该数列的通项公式{}nx18.已知点M是ABC所在平面内的一点，且满足2224MAMBMC，那么ABC三条边长之积ABBCCA的最大值是19.如图1，正方体''''ABCDABCD中，'''////EEFFBB，平面''AEEA与平面''ABBA成15角，平面''AFFA与平面''ADDA成30角，如果正方体的棱长为1，那么几何体'''AEFAEF的体积等于20.已知,AB是抛物线24yx上的两个动点，且3AB，则当AB的中点M到y轴的距离最短时，点M的横坐标是三、解答题每题都要写出推算过程21.（本题满分10分）解不等式22log(1)log(2101)log3(0,1)aaaxxxxxaa22.（本题满分15分）已知正三棱锥底面的一个顶点与它所对的侧面的重心的距离为4，求此正三棱锥的体积的最大值。23.（本题满分15分）椭圆22:1(01,02)4yCxxy在第一象限内的一段弧记为AB，点(,)Pxy在弧AB上，如图2.（1）用()tP表示椭圆C在P点处的切线的单位向量，方向是依椭圆的逆时针走向，求向量()tP的解析式；（2）令函数()()fPtPOP，写出函数()()fPfx的解析式；（3）求函数()fP的最大值及取得最大值时的点P的坐标，并确定函数()()fPfx的值域。