第23届物理竞赛复赛解答

第23届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答及评分标准一、参考解答：解法一小球沿竖直线上下运动时，其离开玻璃管底部的距离h随时间t变化的关系如图所示．设照片拍摄到的小球位置用A表示，A离玻璃管底部的距离为hA，小球开始下落处到玻璃管底部的距离为H.小球可以在下落的过程中经过A点，也可在上升的过程中经过A点.现以表示小球从最高点（即开始下落处）落到玻璃管底部所需的时间（也就是从玻璃管底部反跳后上升到最高点所需的时间），1表示小球从最高点下落至A点所需的时间（也就是从A点上升至最高点所需的时间），2表示小球从A点下落至玻璃管底部所需的时间（也就是从玻璃管底部反跳后上升至A点所需的时间）.显然，12.根据题意，在时间间隔的起始时刻和终了时刻小球都在A点．用n表示时间间隔内（包括起始时刻和终了时刻）小球位于A点的次数（n≥2）.下面分两种情况进行讨论：1．A点不正好在最高点或最低点．当n为奇数时有12111Tnnn3,5,7,n（1）在（1）式中，根据题意1可取10中的任意值，而21（2）当n为偶数时有211222Tnnnn2,4,6,n（3）由（3）式得12（4）由（1）、（3）、（4）式知，不论n是奇数还是偶数，都有1Tn2,3,4,n（5）因此可求得，开始下落处到玻璃管底部的距离的可能值为tHOhATh2211221nTHggn2,3,4,n（6）若用nH表示与n对应的H值，则与nH相应的A点到玻璃管底部的距离2112AnhHg2,3,4,n（7）当n为奇数时，1可取10中的任意值，故有0AnhH2121nTHgnn=3,5,7,···（8）可见与nH相应的Ah的可能值为0与nH之间的任意值．当n为偶数时，112，由（6）式、（7）式求得nH的可能值34AnhH2121nTHgnn=2,4,6,···（9）2．若A点正好在最高点或最低点．无论n是奇数还是偶数都有21Tnn=2,3,4,···（10）22112221nTHggnn=2,3,4,···（11）AnhH21221nTHgnn=2,3,4,···（12）或0Ah（13）解法二因为照相机每经一时间间隔T拍摄一次时，小球都位于相片上同一位置，所以小球经过该位置的时刻具有周期性，而且T和这个周期的比值应该是一整数．下面我们就研究小球通过某个位置的周期性．设小球从最高点（开始下落处）落下至管底所需时间为，从最高点下落至相片上小球所在点（A点）所需时间为1，从A点下落至管底所需时间为2，则12（1）（小球上升时通过相应路程段所需时间与下落时同一路程所需时间相同，也是、1和2）从小球在下落过程中经过A点时刻开始，小球经过的时间22后上升至A点，再经过时间12后又落到A点，此过程所需总时间为12222．以后小球将重复这样的运动．小球周期性重复出现在A点的周期是多少？分两种情况讨论：（1）．12，1和2都不是小球在A点重复出现的周期，周期是2．（2）．12，小球经过时间22回到A点，再经过时间12又回到A点，所以小球重复出现在A点的周期为．下面就分别讨论各种情况中H的可能值和A点离管底的距离Ah的可能值．（如果从小球在上升过程中经过A点的时刻开始计时，结果一样，只是1和2对调一下）1．H的可能值（1）．较普遍的情况，12．T与2的比值应为一整数，的可能值应符合下式2Tk，1,2,3,k（2）由自由落体公式可知，与此相应的kH的数值为2211222kTHggk1,2,3,k（3）（2）．12．的可能值应符合下式Tk1,2,3,k（4）故kH的可能值为221122kTHggk1,2,3,k（5）当k为偶数时，即2,4,6,k时，（5）式与（3）式完全相同．可见由（3）式求得的H的可能值包含了12的全部情况和12的一部分情况．当k为奇数时，即1,3,5,k时，由（5）式得出的H的可能值为212kTHgk1,3,5,k（6）它们不在（3）式之内，故（3）式和（6）式得出的H合在一起是H的全部的可能值．2．与各H值相应的Ah的可能值a.与kH相应的Ah的可能值由于在求得（3）式时未限定A点的位置，故Ah的数值可取0和kH之间的任意值，即0AkhH2122kTHgk1,2,3,k（7）b.与kH（k为奇数）相应的Ah的可能值这些数值与A位于特定的位置，122，相对应，所以对于每一个kH对应的Ah是一个特定值，它们是21122AkThHgk212kTHgk1,3,5,k（8）评分标准：本题23分二、参考解答：1．求刚碰撞后小球A、B、C、D的速度设刚碰撞后，小球A、B、C、D的速度分别为Av、Bv、Cv、Dv，并设它们的方向都与0v的方向相同．由于小球C位于由B、C、D三球组成的系统的质心处，所以小球C的速度也就是这系统的质心的速度．因碰撞前后四小球组成的质点组的动量守恒，故有0AC3MMmvvv（1）碰撞前后质点组的角动量守恒，有CD02mlmlvv（2）这里角动量的参考点设在与B球重合的空间固定点，且规定顺时针方向的角动量为正．因为是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等，有222220ABCD11111+22222MMmmvvmvvv（3）因为杆是刚性杆，小球B和D相对于小球C的速度大小必相等，方向应相反，所以有BCCDvv=vv（4）解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得两个解Cv=0（5）和C0456MMmvv（6）因为Cv也是刚碰撞后由B、C、D三小球组成的系统的质心的速度，根据质心运动定律，碰撞后这系统的质心不可能静止不动，故（5）式不合理，应舍去．取（6）式时可解得刚碰撞后A、B、D三球的速度A05656MmMmvv（7）B01056MMmvv（8）D0256MMmvv（9）2．讨论碰撞后各小球的运动碰撞后，由于B、C、D三小球组成的系统不受外力作用，其质心的速度不变，故小球C将以（6）式的速度即C0456MMmvv沿0v方向作匀速运动．由（4）、（8）、（9）式可知，碰撞后，B、D两小球将绕小球C作匀角速度转动，角速度的大小为0656BMlMmCvvvl（10）方向为逆时针方向．由（7）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向与M、m的大小有关，下面就M、m取值不同而导致运动情形的不同进行讨论：（i）A0v=，即碰撞后小球A停住，由（7）式可知发生这种运动的条件是560Mm即65Mm（11）（ii）A0v，即碰撞后小球A反方向运动，根据（7）式，发生这种运动的条件是65Mm（12）（iii）A0v但ACvv，即碰撞后小球A沿0v方向作匀速直线运动，但其速度小于小球C的速度．由（7）式和（6）式，可知发生这种运动的条件是560Mm和mMM654即665mMm（13）（iv）ACvv，即碰撞后小球A仍沿0v方向运动，且其速度大于小球C的速度，发生这种运动的条件是6Mm（14）（v）ACvv，即碰撞后小球A和小球C以相同的速度一起沿0v方向运动，发生这种运动的条件是6Mm（15）在这种情形下，由于小球B、D绕小球C作圆周运动，当细杆转过180时，小球D将从小球A的后面与小球A相遇，而发生第二次碰撞，碰后小球A继续沿0v方向运动．根据质心运动定理，C球的速度要减小，碰后再也不可能发生第三次碰撞．这两次碰撞的时间间隔是0056πππ6MmlltMvv（16）从第一次碰撞到第二次碰撞，小球C走过的路程C2π3ldtv（17）3．求第二次碰撞后，小球A、B、C、D的速度刚要发生第二次碰撞时，细杆已转过180，这时，小球B的速度为Dv，小球D的速度为Bv．在第二次碰撞过程中，质点组的动量守恒，角动量守恒和能量守恒．设第二次刚碰撞后小球A、B、C、D的速度分别为Av、Bv、Cv和Dv，并假定它们的方向都与0v的方向相同．注意到（1）、（2）、（3）式可得0AC3MMmvvv（18）CB02mlmlvv（19）222220ABCD11111+22222MMmmvvmvvv（20）由杆的刚性条件有DCCBvvvv（21）（19）式的角动量参考点设在刚要发生第二次碰撞时与D球重合的空间点．把（18）、（19）、（20）、（21）式与（1）、（2）、（3）、（4）式对比，可以看到它们除了小球B和D互换之外是完全相同的．因此它们也有两个解C0v（22）和C0456MMmvv（23）对于由B、C、D三小球组成的系统，在受到A球的作用后，其质心的速度不可能保持不变，而（23）式是第二次碰撞未发生时质心的速度，不合理，应该舍去．取（22）式时，可解得A0vv（24）B0v（25）D0v（26）（22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A以速度0v作匀速直线运动，即恢复到第一次碰撞前的运动，但已位于杆的前方，细杆和小球B、C、D则处于静止状态，即恢复到第一次碰撞前的运动状态，但都向前移动了一段距离2π3ld，而且小球D和B换了位置．评分标准：本题25分．三、参考解答：由kpV，1（1）可知，当V增大时，p将随之减小（当V减小时，p将随之增大），在pV图上所对应的曲线（过状态A）大致如图所示．在曲线上取体积与状态B的体积相同的状态C．现在设想气体从状态A出发，保持叶片不动，而令活塞缓慢地向右移动，使气体膨胀，由状态A到达状态C，在此过程中，外界对气体做功11111CAkWVV（2）用UA、UC分别表示气体处于状态A、C时的内能，因为是绝热过程，所以内能的增量等于外界对气体做的功，即11111CACAkUUVV（3）再设想气体处于状态C时，保持其体积不变，即保持活塞不动，令叶片以角速度做匀速转动，这样叶片就要克服气体阻力而做功，因为缸壁及活塞都是绝热的，题设缸内其它物体热容量不计，活塞又不动（即活塞不做功），所以此功完全用来增加气体的内能．因为气体体积不变，所以它的温度和压强都会升高，最后令它到达状态B．在这过程中叶片转动的时间用t表示，则在气体的状态从C到B的过程中，叶片克服气体阻力做功WLt（4）令UB表示气体处于状态B时的内能，由热力学第一定律得BCUULt（5）由题知1pLtV（6）由（4）、（5）、（6）式得1BBCBCVUUpp（7）（7）式加（3）式，得pVABC0111111BBABCCAVkUUppVV（8）利用pVk和CBVV得11BABBAAUUpVpV（9）评分标准：本题23分．四、参考解答：答案：Du如图1所示，Bu如图2所示．uA0TtBu02TT图2UUtT2T0uDBDDA图1U－U．附参考解法：二极管可以处在导通和截止两种不同的状态.不管D1和D2处在什么状态，若在时刻t，A点的电压为uA，D点的电压为uD，B点的电压为uB，电容器C1两极板间的电压为uC1，电容器C2两极板间的电压为uC2，则有1DACuuu（1）2BCuu（2）11CADquuuC（3）22CBGquuuC（4）式中q1为C1与A点连接的极板上的电荷量，q2为C2与B点连接的极板上的电荷量