第4届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

第４届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答（1970年于苏联的莫斯科）【题1】如图4.1（a)、（b），在质量M＝1kg的木板上有质量m＝0.1kg的小雪橇。雪橇上的马达牵引着一根绳子，使雪橇以速度v0＝0.1m/s运动。忽略桌面与木板之间的摩擦。木板与雪橇之间的摩擦系数μ＝0.02。把住木板，起动马达。当雪橇达到速度v0时，放开木板。在此瞬间，雪橇与木板端面的距离L＝0.5m。绳子拴在（a）远处的桩子，（b）木板的端面上。试描述两种情形下木板与雪橇的运动。雪橇何时到达木板端面？mMLmML图4.1（a）图4.1（b）解：（a）在第一种情形中（如图4.1（a）），雪橇处于匀速运动状态。雪橇与木板以不同的速度运动。这样引起的最大摩擦力为，它作用在木板上，产生的加速度Mmga，直至木板达到雪橇的速度v0为止。加速时间为mgMvavt000＝5.1s在这段时间内，雪橇的位移为mgMvavS2220200＝0.255m因此，雪橇离木板右端点的距离为0.5m－0.255m＝0.245m雪橇不能达到木板的一端，因为这段时间以后，木板与雪橇以相同的速度v0一起运动。在木板加速期间，马达必须用力牵引绳子，但以后马达不能施加力的作用，它只是卷绳子。（b）在第二种情形中（如图4.1（b）），木板与桌面之间无摩擦。木板与雪橇形成一个孤立系统，可以用动量守恒定律。当我们放开木板时，雪橇的动量为mv0，释放后的木板具有速度v2，它由下式决定：mv0＝Mv2＋m（v0＋v2）此式表明v2＝０，所以木板保持不动，雪橇以同一速度继续前进。雪橇达到木板右端的时间为1.05.00vLt＝5s【题2】NaCl的晶体点阵由边长为5.6×10-8cm的立方晶胞组成，它是面心立方点阵。钠原子量约为23，氯原子量为35.5，NaCl密度为2.22g/cm3。试计算氢原子的质量（如图4.2）。解：我们先求出一个晶胞的Na离子数。在立方晶胞中心有一个离子，在立方晶胞的每一边也有一个离子，但后者仅有四分之一是属于这个晶胞的。5.610-8cm故钠离子数为：44121氯离子也是这个数。密度可以表示为晶图4.2胞的质量与体积之比，故若用m表示氢原子的质量，则密度可表示为：22.2)106.5(5.35423438mm＝解上式可求得氢原子的质量为m＝1.66×10-24g＝1.66×10-27kg【题3】半径r＝10cm的金属球置于半径R＝20cm的薄金属空心球内，两球同心。内球靠一根长导线经过外球的开孔接地。若外球带电量Q＝10-8C，求外球电势（如图4.3）。解：这里有两个电容，并联连接。其一由外球和内球组成，另一由地与外球组成。由电容相加便可算出电势。导体球相对远处地球的电容为kR，其中k＝9×109Nm2/C2，R为导体球半径。在空心球情形，如果内球接地①，电容为：)11(1RrkCa，图4.3所以：rRRrkCa1两个电容并联总电容为：rRRkrRRrkkRC211把R＝0.2m，r＝0.1m，k＝9×109Nm2/C2代入上式得：C＝44.4×10-12F＝44.4pF故外球相对与地球的电势为：CQU＝225V（注：①Ca是内外球组成的球形电容器的电容，与内球是否接地无关。）【题4】在半径r＝2m、孔径d＝0.5m的凹面镜的焦点位置上，放一块圆形屏幕，使平行于轴的所有入射光线经凹面镜反射后都能达到该圆形屏幕。试求圆形屏幕的直径。如果在上述条件下圆形屏幕的直径减少到仅由原来的1/8，问有多少部分的光能达到在同样位置的屏幕上？解：我们只有采用较精确形式的反射定律，通过利用某些数学近似来求解本题。按照教科书中通常的理论推导，半径PO＝R的凹面镜的焦点位于距离R的中点F处。我们用h表示凹面镜孔径之半。在P点的入射光线与半径的夹角为，反射后与轴交于F1点。OPF1是等腰三角形。图则：cos21ROFrRhPFF1O1,3,5故实际焦点与理论距离的偏差为)1(sec22cos211RRROFOFFF我们把圆形屏放在点F处，要求出屏幕的最小半径值x。在直角三角形PFF1中，应用通常的小角近似，得：)1(sec2)1(sec222sin2tan111hRhRRhFFFFFFx对于小角度：21cos2，故21cos1sec2将Rh代入，得焦“斑”的半径为232Rhx将数值：h＝50/2＝25cm；R＝200cm，代入即得：x＝0.195cm＝1.95mm再看问题的第二部分。如果圆形屏的半径为x，则入射到凹面镜的光束半径为322xRh如果我们用半径kx的屏代替半径为x的屏，则入射光束的半径为：322kxRhk入射光的量正比于2kh，因此322222)2(khkxRhk本题情形是81k，由此得出，落在圆形屏幕上光的量将是前者的41【实验题】桌上有三个装在支架上的透镜，一块有几何图形的屏，一支杆和一把卷尺。仅用所给的工具，以不同的方法测定透镜的焦距。解答：有几种可能的方法。在凸透镜情形，我们用目视观查虚像的消失，并测定透镜的距离。我们注视着实像，借助于视差把杆放在实像的位置上，测量物距和像距，从而计算出焦距。再看凹透镜情形。我们把凹透镜与一个强会聚的凸透镜密接在一起，并用上述方法之一测量系统的焦距，然后算出凹透的焦距。1,3,5