1989年中国数学奥林匹克试题

第四届中国数学奥林匹克(1989年)1.在半径为1的圆周上，任意给定两个点集A、B，它们都由有限段互不相交的弧组成，其中B的每段的长度都等于π/m，m是自然数。用Aj表示将集合A反时针方向在圆同上转动jπ/m弧度所得的集合(j=1,2,...)。求证：存在自然数k，使得L(Aj∩B)≧L(A)L(B)/(2π)。这里L(x)表示组成点集x的互示相交的弧段的长度之和。2.设x1,x2,...,xn都是正数(n≧2)且x1+x2+...+xn=1。求证：。3.设S为复平面上的单位圆同(即模为1的复数的集合)，f为从S到S的映射，对于任意S的元素z，定义f(1)(z)=f(z)，f(2)(z)=f(f(z))，...，f(k)(z)=f(f(k-1)(z))。如果S的元素c，使得f(1)(z)≠c，f(2)(c)≠c，...，f(n-1)(c)≠c，f(n)(c)≠c。则称c为f的n─周期点。设m是大于1的自然数，f定义为f(z)=zm，试计算f的1989─周期点的总数。4.设点D、E、F分别在△ABC的三边BC、CA、AB上，且△AEF、△BFD、△CDE的内切圆有相等的半径r，又以r0的R分别表示△DEF和△ABC的内切圆半径。求证：r+r0=R。5.空间中有1989个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数各不相同的30组，在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形。6.设f：(1,+∞)→(0,+∞)满足以下条件：对于任意实数x、y1，及u、v0，有f(xuyv)≦f(x)1/(4u)f(y)1/(4v)。试确定所有这样的函数。