1990年中国数学奥林匹克试题

第五届中国数学奥林匹克(1990年)1.如下图，在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，圆O1过A、B且与边CD相切于P，圆O2过C，D且与边AB相切于Q，圆O1与O2相交于E、F。求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC//AD。2.设x是一个自然数，若一串自然数x0=1,x2,...,xn=x满足xi-1i=1,2,...,l，则称{x0,x1,...,xn}为x的一条因子链。l称为该因子链的长度。L(x)与R(x)分别表示x的最长因子链的长度和最长因子链的条数。对于x=5k×31m×1990n，k、m、n都是自然数，试求L(x)与R(x)。3.设函数f(x)对x0有定义，且满足条件：i.对任何x、y≧0，f(x)f(y)≦x2f(x/2)+y2f(y/x)；ii.存在常数M0，当0≦x≦1时，|f(x)|≦M。求证：f(x)≦x2。4.设a是给定的正整数，A和B是两个实数，试确定方程组：x2+y2+z2=(13a)2，x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3有整数解的充份必要条件(用A、B的关系式表示，并予以证明)。5.设X是一个有限集合，法则f使的X的每一个偶子集E(偶数个元素组成的子集)都对应一个实数f(E)，满足条件：a.存在一个偶子集D，使得f(D)1990；b.对于X的任意两个示相交的偶子集A、B，有f(A∪B)=f(A)+f(B)-1990。求证：存在X的子集P、Q，满足iii.P∩Q是空集，P∪Q=X；iv.对P的任何非空偶子集S，有f(S)1990v.对Q的任何偶子集T，有f(T)≦1990。6.凸n边形及n-3条在n边形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分图。求证：当且仅当3|n时，存在一个剖分图是可以一笔划的圈(即可以从一个顶点出发，经过图中各线段恰一次，最后回到出发点)。