2001年中国数学奥林匹克试题

第十六届中国数学奥林匹克(2001年)1.给定a，。内接于单位圆ABCD的凸四边形适合以下条件：1.圆心在这凸四边形内部；2.最大边长是a,最小边长是。过点A、B、C、D依次作圆Γ的四条切线LA、LB、LC、LD。已知LA与LB、LB与LC、LC与LD、LD与LA分别相交于A'、B'、C'、D'四点。求面积之比SA'B'C'D'/SABCD的最大值与最小值。2.设X={1,2,3,…2001},求最小的正整数m，适合要求：对X的任何一个m元子集W,都存在u、v(u和v允许相同)，使得u+v是2的方幂。3.在正n边形的每个顶点上各停有一只喜鹊。偶受惊吓，众喜鹊都飞去。一段时间后，它们又都回到这些顶点上，仍是每个顶点上一只，但未必都回到原来的顶点。求所有正整数n，使得一定存在3只喜鹊，以它们前后所在的顶点分别形成的三角形或同为锐角三角形，或同为直角三角形，或同为钝角三角形4.设a,b,c,a+b-c,a+c-b,b+c-a,a+b+c是7个两两不同的质数,且a,b,c中有两数之和是800。设d是这7个质数中最大数与最小数之差。求d的最大可能值。5.将周长为24的圆周等分成24段。从24个分点中选取8个点，使得其中任何两点间所夹的弧长都不等于3和8。问满足要求的8点组的不同取法共有多少种？说明理由。6.记a=2001。设A是适合下列条件的正整数对(m，n)所组成的集合：1.m2a；2.2n|(2am-m2+n2)；3.n2-m2+2mn≦2a(n-m)。令，求和。