2003年中国数学奥林匹克试题

2003年第十八届中国数学奥林匹克（长沙）第一天（2003-01-15）一、设点I、H分别为锐角△ABC的内心和垂心，点B1、C1分别为边AC、AB的中点.已知射线B1I交边AB于B2（B2≠B），射线C1I交AC的延长线于点C2，B2C2与BC相交于K，A1为△BHC外心.试证：A、I、A1三点共线的充分必要条件是△BKB2和△CKC2的面积相等.二、求出同时满足如下条件的集合S的元素的个数的最大值：（1）S中的每个元素都是不超过100的正整数；（2）对于S中的任意两个不同的元素a、b，都存在S中的元素c，使得a与c的最大公约数等于1，并且b与c的最大公约数也等于1；（3）对于S中的两个不同元素a、b，都存在S中异于a、b的元素d，使得a与d的最大公约数大于1，并且b与d的最大公约数也大于1.三、给定实数n，求最小的正数，使得对于任何i（0，2）（i=1，2，…，n），只要tan1•tan2•…•tann=22n,就有cos1+cos2+…+cosn不大于.第二天（2003-01-16）四、求所有满足a≥2，m≥2的三元正整数组（a,m,n）,使得an+203是am+1的倍数.五、某公司需要录用一名秘书，共有10人报名，公司经理决定按照求职报名的顺序逐个面试，前3个人面试后一定不录用.自第4个人开始将他与前面所有已面试过的人相比较，如果他的能力超过了前面所有已经面试过的人，就录用他，否则就不录用，继续面试下一个.如果前9个人都不录用，那么就录用最后一个面试的人.假定这10个人能力个不相同，可以按能力由强到弱排为第1，第2，……，第10，显然该公司到底录用哪一个人，与这10个人的报名顺序有关.大家知道，这样的排列有10！种.我们以Ak表示能力第k个人能够被录用的不同的报名顺序的数目，以!10kA表示他被录用的可能性.证明：在该公司经理的方针之下，有（1）A1A2…A8=A9=A10;（2）该公司有超过70%的可能性录取到能力最强的3个人之一，而只有不超过10%的可能性录用到能力最弱的3个人之一.六、设a、b、c、d为正实数，满足ab+cd=1，点Pi(xi,yi)(i=1，2，3，4)是以原点为圆心的单位圆周上的4个点.求证：（ay1+by2+cy3+dy4）2+(ax4+bx3+cx2+dx1)2≤2(abba22+cddc22).