2006北航校物理竞赛

1一、填空题（每题4分,共计40分）1.质量为m的小球速度为v0，与一个以速度v(vv0)同向运动的活动挡板作垂直的完全弹性碰撞（设挡板质量Mm），则碰撞后小球的速度vm＝______________，挡板对小球的冲量I＝______________．2.一粒子沿x轴运动，它的势能EP(x)为x的函数，函数图线如图所示．若该粒子所具有的总能量E=0，则该粒子的运动范围为________．当粒子处在x2位置时，其动能为______________．3.一列火车以速度u作匀速直线运动，当一位实验者站在一节敞车上面将一质量为m的小球以速度v（相对于火车）向前或竖直向上抛出，在地面参考系中看来实验者对小球作的功分别是：W（前）=______________．W（上）=______________．4.如图所示．圆柱体的半径为R，其上有一半径为r的固定圆盘(圆盘质量忽略不计),盘周绕有细绳，今沿垂直于圆盘轴的水平方向以力F拉绳．若使该圆柱体在水平面上作纯滚动，则该柱体与水平面间的静摩擦力f＝________．当Rr21=时静摩擦力f＝________．5.图为一自转轴在水平方向的回转仪的俯视图．t＝0时刻，回转仪绕自转轴的角动量为iLLvv=(1)欲使回转仪逆时针进动，则该时刻对它加的外力矩的方向应为__________．(2)若经过时间t，回转仪进动到它的角动量指向y方向，而大小不变，则在这段时间内，回转仪所受到的冲量矩为______________．6.在三个完全相同的空气平行板电容器中，将面积和厚度均相同的一块导体板和一块电介Mmvv0－U0xEPOx1x2RBCrFOxy2质板分别插入其中的两个电容器，如图所示．比较三者电容值的大小，则________________是电容最大的电容器；________________是电容最小的电容器．7.如图，某时刻两电子并排沿平行线以速度vv运动，两者相距为a，图中下面一个电子所受的洛伦兹力大小为___________________，方向为___________________．8.如图，在一固定的无限长载流直导线的旁边放置一个可以自由移动和转动的圆形的刚性线圈，线圈中通有电流，若线圈与直导线在同一平面，见图(a)，则圆线圈的运动将是______________________________________；若线圈平面与直导线垂直，见图(b)，则圆线圈将____________________________________________________________________.9.在一个中空的圆柱面上紧密地绕有两个完全相同的线圈aa′和bb′(如图)．已知每个线圈的自感系数都等于0.05H．若a、b两端相接，a′、b′接入电路，则整个线圈的自感L=____________．若a、b′两端相连，a′、b接入电路，则整个线圈的自感L=____________．若a、b相连，又a′、b′相连，再以此两端接入电路，则整个线圈的自感L=___________．10.一平行板电容器，极板是半径为R的圆形金属板，两极板与一交变电源相接，极板上电荷随时间的变化为q=q0sinωt(式中q0、ω均为常量)．忽略边缘效应，则两极板间位移电流密度大小为__________________________；在两极板间，离中心轴线距离为r（rR）处，磁场强度大小为________________________.二、计算题（每题10分,共计60分）11.地球可看作是半径R=6400km的球体，一颗人造地球卫星在地面上空h=800km的圆形轨道上，以7.5km/s的速度绕地球运动．在卫星的外侧发生一次爆炸，其冲量不影响卫星当时的绕地圆周切向速度vt=7.5km/s，但却给予卫星一个指向地心的径向速度vn=0.2km/s．求这次爆炸后使卫星轨道的最低点和最高点各位于地面上空多少公里？电介质板导体板123aeevvvvII⊙(a)(b)aba′b′312.在一较大的无摩擦的平均半径为R的水平圆槽内，放有两个小球，质量分别为m和M，两球可在圆槽内自由滑动．现将一不计其长度的压缩的轻弹簧置于两球之间，如图所示．(1)将压缩弹簧释放后，两球沿相反方向被射出，而弹簧本身仍留在原处不动，问小球将在槽内何处发生碰撞？(2)设压缩弹簧具有弹性势能E0，问小球射出后，经多少时间发生碰撞？13.如图所示，一均匀细棒，长为l，质量为m，可绕过棒端且垂直于棒的光滑水平固定轴O在竖直平面内转动．棒被拉到水平位置从静止开始下落，当它转到竖直位置时，与放在地面上一静止的质量亦为m的小滑块碰撞，碰撞时间极短．小滑块与地面间的摩擦系数为µ，碰撞后滑块移动距离S后停止，而棒继续沿原转动方向转动，直到达到最大摆角．求：碰撞后棒的中点C离地面的最大高度h．14.一半径为R的球冠，对球心的张角为2θ0，如图所示．此球冠面上均匀带电，电荷面密度为σ．试求其轴线上与球心O相距为z(z＞R)的P点处的电势(设无限远处为电势零点)，并利用电势梯度求该点场强．15.平行板电容器两极板上自由电荷面密度分别为＋σ和σ−．今在其中放一扁平圆柱形各向同性均匀电介质，其半径为r，高度为h，相对介电常量为εr，轴线与板面垂直，如图所示．试求圆柱介质内中点处的场强Ev和电位移矢量Dv．并求当hr时，介质中点Ev、Dv的近似值．16.按照经典模型，可假设电子是一个质量均匀分布的球体，电荷均匀分布的球壳，并绕它的一条直径转动，即自旋．已知电子的自旋动量矩h21=S，质量为m，电荷为e，电子的半径为R．求电子中心处磁感应强度的大小．(球体绕中心轴的转动惯量为52mR2)RMmClOChSmPzR2θ0Orh+σ-σ4参考答案一、填空题（每题4分，共计40分）1.2v–v0　2分−2m(v–v0)2分2.x≥x12分U0　2分3.vvmum+2212分221vm2分4.FRrR32−−(f与F方向相反)2分02分5.沿y轴方向2分()ijLvv−2分6.插导体板的2分空气的2分7.2220aefπ4vµ=2分垂直向上．2分8.平移，靠向直导线2分受力矩，绕通过直导线的线圈直径转动，同时受力向直导线平移2分9.01分0.2H1分0.05H2分10.20cosRtqπωω2分202cosRtrqπωω3分5二、计算题（每题10分,共计60分）11.解：(1)爆炸过程中，以及爆炸前后，卫星对地心的角动量始终守恒，故应有rmrmLt′′==vv①3分其中r＇是新轨道最低点或最高点处距地心的距离，v′v则是在相应位置的速度，此时rvv′⊥′v　(2)爆炸后，卫星、地球系统机械能守恒：　=−+rGMmmmnt/212122vvrGMmm′−′/212v②2分由牛顿定律：rmrGMmt//22v=∴rGMt2v=③1分将①式、③式代入②式并化简得：02)(222222=+′−′−rrrrttntvvvv2分∴0])][()[(=−′−−′+rrrrtnttntvvvvvv∴=−=′nttrrvvv17397km，=+=′nttrrvvv27013km远地点99711=−′=Rrhkm近地点61322=−′=Rrhkm．2分12.解：(1)设两小球被射出后的角速度分别为ωm和ωM，根据角动量守恒有：MmMRmRωω22=2分mMMm=ωω①设在碰撞处，两小球所转过的角度分别为θm、θM，则有：θm+θM=2π②1分θm=ωmt，θM=ωMt得MmMmωωθθ=③1分由①、②、③解得π⋅+=2MmMmθ；π⋅+=2MmmMθ2分(2)由机械能守恒定律得：　022)(21)(21ERMRmMm=+ωω2分将①式代入上式，有)(210MmMmERM+=ω1分小球从射出到碰撞经过的时间为:02)(2mEMMmMmmRtMM++π==ωθ1分RvnmOvt613.解：以棒与地为系统，在棒下落时，仅有保守内力作功，故系统机械能守恒．1分选地面为势能零点，则有mgl＝221ωJmgl21+①1分以棒与滑块为系统，在二者碰撞过程中，对O轴M外＝0，故系统对O轴的角动量守恒．1分lmJJ0v+′=ωω②2分对滑块有20210vmfs−=−③1分f=µmg④1分以棒与地为系统，在棒上升过程中，机械能守恒．选地面为势能零点，则有mghJmgl=′+22121ω⑤1分①~⑤式联立，考虑到231mlJ=，解得SlSlhµµ63−+=2分14.解：设坐标系如图，在球冠上任取一面元dS=R2sinθdθdφ此面元距P点的距离为()θθ222sincosRRzr+−=θcos222RzRz−+=2分面元上的电荷dq＝σdS在P点产生的电势为rSUd41d0σεπ=2分球冠上的电荷在P点产生的电势为∫∫−+π=π00222200cos2dsind41θθθσφεRzRzSRU()[]RxRzRzzR−−−+=θεσcos222202分由于轴对称性，P点电场强度为kzUEEzvvvdd−==2分kRzRzzRzRv⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−+=θθεσcos2cos122202022分P(0,0,z)zθOyxφdSr715.解：介质在电场中被均匀极化，两端面上有极化面电荷，其密度分别为－σ′和σ′+．设极板上自由电荷分布不变，由电场的边界条件在介质棒两端面处有：E2t=E1t=0，D2t=ε0εrE2t=0D2n=D1n=D1=σ，D2=D2n=σE2=D2/(ε0εr)=σ/(ε0εr)因为介质均匀极化，介质内极化电荷体密度ρ'=0．端面上极化电荷面密度σ'=Pn=ε0χeE2=(εr−1)σ/εr4分极化面电荷分布在二个平行圆板上，在介质中点处所产生的附加电场()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−′=′2202/2/1hrhEεσ介质中点处的总场强为()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−′−=′−=220002/2/1hrhEEEεσεσ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+=220411hrhrrεεεσ方向垂直向下EDrεε0=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+=22411hrhrεσ方向垂直向下4分当hr时，()rEεεσ0/≈σ≈D2分16.解：(1)设电子自转的角速度为ωh21=⋅=ωJS252mRJ=∴245mRh=ω3分(2)面电荷密度σ=e/(4πR2)．把电子看作旋转的均匀带电球壳，则与轴夹角为θ的窄环带上的电荷形成的电流为TRRTqI/dsin2/ddθθπσ⋅⋅==θθσωdsin2R=2分此电流在球心处产生的磁场为Bvd，方向沿转轴，如图，其大小为∫×π=αµcosd4d30RRldIBvvθµθµ2020sin2dsinπ4RdIlRdI==∫3分(3)球心处磁感强度的大小为30π245dRmeBBhµ==∫，方向与图中Bvd同．2分OωdIθαBvdR