2007年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题

2007年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分.第一试1.已知a≠0,并且关于x的方程ax2－bx－a+3=0①至多有一个解,试问:关于x的方程(b－3)x2+(a－2b)x+3a+3=0②是否一定有解?并证明你的结论.2.已知点D为等腰△ABC的底边BC的中点,P为AB线段内部的任意一点,设BP的垂直平分线与直线AD交于点E,PC与AD交于点F.求证:直线EP是△APF的外接圆的切线.3.在1,2,…,2007这2007个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中的每一个都与2007互质,并且所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数.第二试1.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,,则=________________.2.已知,则代数式化简的最后结果是_________.3.代数式113－110x的最小值为__________________.4.如果一个直角三角形的两条直角边的乘积等于它的斜边的平方的,那么,这个直角三角形中较大的锐角的度数为________________.5.已知在直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点分别为A(2,+)、B(,)、C(5,).则△ABC的边BC上的高与∠ABC的平分线的交点的坐标为___________.6.已知某工厂一月份生产某产品1万件,二月份生产1.2万件,三月份生产1.3万件,n月份生产abn+c万件,其中a、b、c都是常数,n=1,2,…,12,则该工厂四月份生产___________________万件.7.方程3x3+2x2－(17－9)x－(6－5)=0的解为x1=________,x2=______,x3=______.8.已知矩形ABCD的周长的平方与面积的比为k.则矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比等于_____________.9.已知正方形纸片ABCD的面积为2007cm2.现将该纸片沿一条线段折叠(如图1),使点D落在边BC上的点D′处,点A落在点A′处,A′D′与AB交于点E.则△BD′E的周长等于______cm.10.若x为整数,3x200,且x2+(x+1)2是一个完全平方数,则整数x的值等于_____________.参考答案第一试1.由题意知,方程①的判别式Δ1=b2+4a(a－3)≤0b2+(2a－3)2≤9∴－3≤b≤3,－3≤2a－3≤3∴b－3≤0,0≤a≤3.当b－3=0时,方程②化为－x+=0,有解.当b－30时,方程②的判别式Δ2=(a－2b)2－12(a+1)(b－3)0,此时也有解.综上所述,方程②一定有解.2.以E为圆心、EB为半径作圆,则点P、C都在该圆的圆周上.联结EC.则∠PAE=90°－∠ABC=90°－∠PEC=∠EPC.因此,EP是△APF的外接圆的切线.3.将1,2,…,2007分别用7除,余数为1、2、3、4、5的各有286+1=287个;余数为6、0的各有286个.在1,2,…,2007中,与2007不互质的数有3,2×3,3×3,…,669×3以及223,2×223,4×223,5×223,7×223,8×223.将这些与2007不互质的数分别用7除,余数依次为3,6,2,5,1,4,0,3,6,2,5,1,4,0,…,3,6,2,5以及6,5,3,2,0,6.于是,在这些与2007不互质的数中,余数为1、2、3、4、5、6、0的依次有95、97、97、95、97、98、96个.在1,2,…,2007且与2007互质的数中,余数为1、2、3、4、5、6、0的依次有192、190、190、192、190、188、190个.要使所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数,至多取2个余数为0的数.由于余数为(1,3,3)、(3,2,2)、(2,6,6)、(6,4,4)、(4,5,5)、(5,1,1)以及(1,2,4)、(3,6,5)的三数的和都是7的倍数,因此,至多取2组其余数在图2中不相邻的全部数.经验证可知,取2组余数为1、4的全部数,再取2个余数为0的数,符合题目的要求,且取出的数的个数达到最大值.故最多可以取出192+192+2=386个数,使得所取出的数中的每一个都与2007互质,并且所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数.第二试1.2－.2..3.3.令y=113－110x,则y2+220xy=3×223x2+3×1132,3×223x2－220yx+3×1132－y2=0.故Δ=(220y)2－4×3×223(3×1132－y2)=4×1132(y2－32×223)≥0.所以,y≥3.当且仅当x=110/时,y取最小值34.75°.设较大的锐角为α.由题意易知sinα·cosα=sin2α=α=75°5.(2,+3).设△ABC的边BC上的高与∠ABC的线交于点P(2,+h).则tan∠ABC=/,tan∠PBC=h/.又∠ABC=2∠PBC,于是,由半角公式得h=/3.6.1·35.由题设易知ab+c=1,ab2+c=1·2,ab3+c=1.3·.则ab(b－1)=0.2,ab2(b－1)=0.1.故b=0.5,a=－0.8,c=1.4.所以,ab4+c=1.35.7./3,－1,1－2.令x=y,代入原方程得6y3+4y2－17y+18y－6+5=0.易知y=1/3满足条件.故x1=/3.于是,3x3+2x2－(17－9)x－(6－5)=(x－/3)(3x2+3x+9－15).=3(x－/3)(x－+1)(x+2－1).所以,x1=/3,x2=－1,x3=1－2.8..设矩形的长、宽分别为a、b(a≥b).则4(a+b)2/ab=k,即4a2+(8－k)ab+4b2=0.令t=a/b,则4t2+(8－k)t+4=0.解得t=.9.6.设正方形边长a=,∠D′DC=α.则∠BD′E=2α,CD′=atanα,BD′=a(1－tanα).所以,△BD′E的周长为a(1－tanα)(1+tan2α+sec2α)===2a=6.10.20或119.设x2+(x+1)2=v2,则(2x+1)2=2v2－1.令u=2x+1,则u2－2v2=－1.其为佩尔方程,其基本解为(u0,v0)=(1,1).其全部正整数解可由un+vn=(u0+v0)2n+1得到.其中,(u1,v1)=(7,5),(u2,v2)=(41,29),(u3,v3)=(239,169),u4400.故x=20或119.