2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为DCBA,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1．设213aa，213bb，且ab，则代数式2211ab的值为（）)(A5.)(B7.)(C9.)(D11.【答】B.解由题设条件可知2310aa，2310bb，且ab，所以,ab是一元二次方程2310xx的两根，故3ab，1ab，因此222222222211()23217()1abababababab.故选B.2．如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若6AB，5BC，3EF，则线段BE的长为（）)(A185.)(B4.)(C215.)(D245.【答】D.解因为AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，易知,,,BCEF四点共圆，于是△AEF∽△ABC，故35AFEFACBC，即3cos5BAC，所以4sin5BAC.在Rt△ABE中，424sin655BEABBAC.故选D.3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）)(A15.)(B310.)(C25.)(D12.【答】C.解能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个.所以所组成的数是3的倍数的概率是82205.故选C.4．在△ABC中，12ABC，132ACB，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点,MN分别在直线AC和直线AB上，则（）)(ABMCN.)(BBMCN.)(CBMCN.)(DBM和CN的大小关系不确定.【答】B.解∵12ABC，BM为ABC的外角平分线，∴1(18012)842MBC.又18018013248BCMACB，∴180844848BMC，∴BMBC.又11(180)(180132)2422ACNACB，∴18018012()BNCABCBCNACBACN168(13224)12ABC，∴CNCB.因此，BMBCCN.故选B.5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（）)(A39()8.)(B49()8.)(C59()8.)(D98.【答】B.解容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a，过了n天.n天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010knkknkaa，其中k为自然数，且0kn.要使r的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010inia，1198()()1010inia，2298()()1010inia，3398()()1010inia，4498()()1010inia，其中i为不超过n的自然数.所以r的最小值为44498()()91010()988()()1010iniiniaa.故选B.6．已知实数,xy满足22(2008)(2008)2008xxyy，则223233xyxy2007的值2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共9页）为（）)(A2008.)(B2008.)(C1.)(D1.【答】D.解∵22(2008)(2008)2008xxyy，∴2222008200820082008xxyyyy，2222008200820082008yyxxxx，由以上两式可得xy.所以22(2008)2008xx，解得22008x，所以22222323320073233200720071xyxyxxxxx.故选D.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设512a，则5432322aaaaaaa2.解∵225135()122aa，∴21aa，∴543232323222()2()2aaaaaaaaaaaaaaaa33332221211(1)(11)2(1)1aaaaaaaaaaa.2．如图，正方形ABCD的边长为1，,MN为BD所在直线上的两点，且5AM，135MAN，则四边形AMCN的面积为522008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共9页）解设正方形ABCD的中心为O，连AO，则AOBD，22AOOB,2222232(5)()22MOAMAO,∴2MBMOOB.又135ABMNDA，13590NADMANDABMABMAB45MABAMB，所以△ADN∽△MBA，故ADDNMBBA，从而12122ADDNBAMB.根据对称性可知，四边形AMCN的面积11225222(22)22222MANSSMNAO△.3．已知二次函数2yxaxb的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且1mn.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则pq12解根据题意，,mn是一元二次方程20xaxb的两根，所以mna，mnb.∵1mn，∴1mnmn，1mnmn.∵方程20xaxb的判别式240ab，∴22()1444amnb.22244()()()11bmnmnmnmn，故14b，等号当且仅当12mn时取得；22244()()1()1bmnmnmnmn，故14b，等号当且仅当12mn时取得.所以14p，14q，于是12pq.4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是1.解21到23，结果都只各占1个数位，共占133个数位；2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共9页）24到29，结果都只各占2个数位，共占2612个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085个数位；此时还差2008(312662721085)570个数位.2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1.第二试（A）一．（本题满分20分）已知221ab，对于满足条件01x的一切实数x，不等式(1)(1)()0axxaxbxbxbx（1）恒成立.当乘积ab取最小值时，求,ab的值.解整理不等式（1）并将221ab代入，得2(1)(21)0abxaxa（2）在不等式（2）中，令0x，得0a；令1x，得0b.易知10ab，21012(1)aab，故二次函数2(1)(21)yabxaxa的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x的一切实数x恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0aaba，即14ab.由方程组2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共9页）221,14abab（3）消去b，得42161610aa，所以2234a或2234a.又因为0a，所以624a或624a，于是方程组（3）的解为62,462,4ab或62,462.4ab所以ab的最小值为14，此时,ab的值有两组，分别为6262,44ab和6262,44ab.二．（本题满分25分）如图，圆O与圆D相交于,AB两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且ABBC.（1）证明：点O在圆D的圆周上.（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值.解（1）连,,,OAOBOCAC，因为O为圆心，ABBC，所以△OBA∽△OBC，从而OBAOBC.因为,ODABDBBC，所以9090DOBOBAOBCDBO，所以DBDO，因此点O在圆D的圆周上.（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BEAC.设2ACy(0)ya，OEx，ABl，则222axy，()Syax，2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共9页）22222222()2222()aSlyaxyaaxxaaxaaxy.因为22ABCOBAOABBDO,ABBC,DBDO，所以△BDO∽△ABC，所以BDBOABAC，即2raly，故2alry.所以22223222()4422alaaSSaSryyyy，即22Sr，其中等号当ay时成立，这时AC是圆O的直径.所以圆D的的半径r的最小值为22S.三．（本题满分25分）设a为质数，b为正整数，且29(2)509(4511)abab（1）求a，b的值.解（1）式即2634511()509509abab，设634511,509509ababmn，则509650943511manab（2）故351160nma，又2nm，所以2351160mma（3）由（1）式可知，2(2)ab能被509整除，而509是质数，于是2ab能被509整除，故m为整数，即关于m的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式251172a为完全平方数.不妨设2251172at（t为自然数），则2272511(511)(511)attt.由于511t和511t的奇偶性相同，且511511t，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,tat两式相加，得3621022a，没有整数解.②51118,5114,tat两式相加，得1841022a，没有整数解.③51112,5116,tat两式相加，得1261022a，没有整数解.2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共9页）④5116,51112,tat两式相加，得6121022a，没有整数解.⑤5114,51118,tat两式相加，得4181022a，解得251a.⑥