2009年全国初中数学联合竞赛试题

2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.设71a，则32312612aaa（）A.24.B.25.C.4710.D.4712.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（）A.72.B.10.C.105.D.73.3．用[]x表示不大于x的最大整数，则方程22[]30xx的解的个数为（）A.1.B.2.C.3.D.4.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A.314.B.37.C.12.D.47.5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sinCBE＝（）A.63.B.23.C.13.D.1010.6．设n是大于1909的正整数，使得19092009nn为完全平方数的n的个数是（）A.3.B.4.C.5.D.6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t是实数，若,ab是关于x的一元二次方程2210xxt的两个非负实根，则22(1)(1)ab的最小值是____________.2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为______.3．如果实数,ab满足条件221ab，22|12|21ababa，则ab______.4．已知,ab是正整数，且满足15152()ab是整数，则这样的有序数对(,)ab共有_____对.DABCE第二试（A）一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)yxbxcc的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为⊙P的直径且2ABCS△＝，求b和c的值.二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，1I、2I分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求1I2I.三．（本题满分25分）已知,,abc为正数，满足如下两个条件：32abc①14bcacababcbccaab②证明：以,,abc为三边长可构成一个直角三角形.第二试（B）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二．（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试（C）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知,,abc为正数，满足如下两个条件：32abc①14bcacababcbccaab②是否存在以,,abc为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.参考答案FQEPHNMACB第一试一、选择题1、A2、C3、C4、B5、D6、B二、填空题1、32、2mn3、14、7第二试（A）二．（本题满分25分）解:（1）易求得点C的坐标为(0,)c，设1A(,0)x，2B(,0)x，则12xxb，12xxc.设⊙P与y轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则121xxcOAOBODOCcc.因为0c，所以点C在y轴的负半轴上，从而点D在y轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点C的坐标为(0,1)，即1c.又222121212()4()44ABxxxxxxbcb，所以21141222ABCSABOCb△，解得23b.二．（本题满分25分）解：作1IE⊥AB于E，2IF⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，22AB=AC+BC5.又CD⊥AB，由射影定理可得2AC9AD=AB5，故16BD=ABAD5，2212CD=ACAD5.FEI1I2DBAC因为1IE为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以1IE＝13(ADCDAC)25.连接D1I、D2I，则D1I、D2I分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠1IDC＝∠1IDA＝∠2IDC＝∠2IDB＝45°，故∠1ID2I＝90°，所以1ID⊥2ID，1113IE325DIsinADIsin455.同理，可求得24IF5，242DI5.所以1I2I＝2212DIDI2.三．（本题满分25分）证法1将①②两式相乘，得()()8bcacababcabcbccaab，即222222()()()8bcacababcbccaab，即222222()()()440bcacababcbccaab，即222222()()()0bcacababcbccaab，即()()()()()()0bcabcacabcababcabcbccaab，即()[()()()]0bcaabcabcabcabcabc，即222()[2]0bcaababcabc，即22()[()]0bcacababc，即()()()0bcacabcababc，所以0bca或0cab或0cab，即bac或cab或cba.因此，以,,abc为三边长可构成一个直角三角形.证法2结合①式，由②式可得32232232214abcbccaab，变形，得222110242()4abcabc③又由①式得2()1024abc，即22210242()abcabbcca，代入③式，得110242[10242()]4abbccaabc，即16()4096abcabbcca.3(16)(16)(16)16()256()16abcabcabbccaabc3409625632160，所以16a或16b或16c.结合①式可得bac或cab或cba.因此，以,,abc为三边长可构成一个直角三角形.第二试（B）二．（本题满分25分）解因为BN是∠ABC的平分线，所以ABNCBN.又因为CH⊥AB，所以CQNBQH90ABN90CBNCNB，因此CQNC.又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以CFB90CHB，因此C、F、H、B四点共圆.又FBH=FBC，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.三．（本题满分25分）解法1将①②两式相乘，得()()8bcacababcabcbccaab，即222222()()()8bcacababcbccaab，即222222()()()440bcacababcbccaab，即222222()()()0bcacababcbccaab，即()()()()()()0bcabcacabcababcabcbccaab，即()[()()()]0bcaabcabcabcabcabc，即222()[2]0bcaababcabc，即22()[()]0bcacababc，即()()()0bcacabcababc，所以0bca或0cab或0cab，即bac或cab或cba.因此，以,,abc为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.解法2结合①式，由②式可得32232232214abcbccaab，变形，得222110242()4abcabc③又由①式得2()1024abc，即22210242()abcabbcca，代入③式，得110242[10242()]4abbccaabc，即16()4096abcabbcca.3(16)(16)(16)16()256()16abcabcabbccaabc3409625632160，所以16a或16b或16c.结合①式可得bac或cab或cba.因此，以,,abc为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.