2010北航校物理竞赛

1一、填空题1.质量为m的小球速度为v0，与一个以速度v(vv0)同向运动的活动挡板作垂直的完全弹性碰撞（设挡板质量Mm），则碰撞后小球的速度vm＝，挡板对小球的冲量I＝．2.有一火车，在水平地面上以不变的加速度av沿直线向前运动，当车速为v0时，从火车天花板上掉下一质量为m的螺帽．此后经过时间t，相对火车静止的人看螺帽的动能为．相对地面静止的人看螺帽的动能为．3.如图所示．圆柱体的半径为R，其上有一半径为r的固定圆盘(圆盘质量忽略不计),盘周绕有细绳，今沿垂直于圆盘轴的水平方向以力F拉绳．若使该圆柱体在水平面上作纯滚动，则该柱体与水平面间的静摩擦力f＝．当Rr21=时静摩擦力f＝．4、三个质量相等的带电小球在光滑水平面上沿一直线排列，间距为L，qB=-3q，qA=6q，F为恒定外力。为使三者始终保持间距为L的运动，F=，qC=.5.一个平行板电容器的电容值C=100pf，面积S=100cm2，两板间充以相对介电常量为εr=6的云母片．当把它接到50V的电源上时，云母中电场强度的大小E=，金属板上的自由电荷ｑ＝．(真空介电常量ε0=8.85×10-12C2·N-1·m-2)6.三个完全相同的金属球A、B、C，其中A球带有电荷Q，而B、C球均不带电．先使A球同B球接触，分开后A球再和C球接触，最后三个球分别孤立地放置，则A、B两球所储存的电场能量WA，WB，与A球原先所储存的电场能量W0比较，WA是W0的倍，WB是W0的倍7.如图，某时刻两电子并排沿平行线以速度vv运动，两者相距为a，图中下面一个电子所受的洛伦兹力大小为，方向为．Mmvv0RBCrFdABSaeevvvv28.一半圆形闭合线圈，半径R＝0.2m，通过电流I＝5A，放在均匀磁场中，磁场的方向与线圈平面平行，如图所示．磁感强度B＝0.5T，则线圈所受到磁力矩为．若此线圈受磁力矩的作用从上述位置转到线圈平面与磁场方向成30°角的位置，则此过程中磁力矩作功为．9．由半径为R、间距为d（dR）的两块圆盘构成的平板电容器内充满了相对介电常数为εr的介质．电容器上加有交变电压V=V0cosωt板间电场强度E(t)=，极板上自由电荷的面密度σ(t)=，板间离中心轴线距离为r处的磁感强度B(r，t)=．10.如图．匀强磁场Bv，垂直于纸面向里，局限于半径为R的圆柱形空间区域，磁感强度Bv以dB/dt=常量的速率增加，D点在圆柱形空间内，到轴线距离为r1，C点在圆柱形空间外，到轴线距离为r2．将一电子（质量为m，电荷为-e）置于D点时电子的加速度大小=||Dav；置于C点时电子的加速度大小=||Cav．并在图中标明Cav，Dav的方向．二、计算题11.用一根长度为L的细线悬挂一质量为m的小球，线所能承受的最大张力为T=1.5mg．现在把线拉至水平位置然后由静止放开，若线断后小球的落地点C恰好在悬点O的正下方，如图所示．求高度OC之值．12.(本题10分)质量为m的质点开始时静止，在如图所示合力F的作用下沿直线运动，已知)/2sin(0TtFFπ=，方向与直线平行，求：(1)在0到T时间内，力Fv的冲量大小；(2)在0到T21时间内，力Fv的冲量大小；(3)在0到T21时间内，力Fv所作的总功；(4)试说明质点的运动情况．RIBv×××××××××××DOr1CBvr2RLCaOF0FtOTT21313.(本题10分))如图所示，将两极板间距离为d的平行板电容器垂直地插入到密度为ρ、相对介电常量为εr的液体电介质中．如维持两极板之间的电势差U不变，试求液体上升的高度h．14.(本题10分)有一台内阻及损耗均可不计的直流发电机，其定子的磁场恒定。先把它的电枢(转子)与一电阻R连接，再在电枢的转轴上缠绕足够长的轻线绳，绳端悬挂一质量为m的重物，重物最后以速率v1匀速下落。现将一电动势为E，内阻不计的电源如图接入电路中，使发电机作电动机使用，悬挂重物不变，最后重物匀速上升，求重物上升的速率v2．15.(本题10分)在长为l、半径为b、匝数为N的细长螺线管的轴线中部，放置一个半径为a的导体圆环，圆环平面的法线与螺线管轴线之间的夹角固定成45°(如图所示)．已知螺线管电阻为R，圆环电阻为r，其自感不计，电源的电动势为E内电阻为零．设ab，螺线管与圆环的互感与螺线管的自感相比可不计．(1)求开关合上后通过螺线管的电流Ｉ随时间的变化规律．(2)求开关合上后小圆环内电流随时间的变化规律．(3)证明圆环受到的最大磁力矩为rRlbaT2204max8Eμπ=16.(本题10分)两线圈之间的互感为M，两线圈的自感分别为L1和L2，电阻分别为R1和R2．第一线圈接在电动势为E的电源上，第二线圈接在电阻为R3的电流计G上，如图所示．设开关K原先是接通的，第二线圈内无电流，现在把K断开，求K断开后通过电流计G的电荷q．Hdh电枢的轴mv1mv2ERRKEbl45°2anvR1R2GR3L1L2EK4一、填空题1.2v–v0−2m(v–v0)2.222)(21tgam+])([21220gtm+v3.FRrR32−−(f与F方向相反)04、22Lkq18q85.9.42×103V/m5×10-9C6.1/161/47.2220aπ4vefμ=垂直向上8.0.157N·m7.85×10-2J9．tdVωcos)/(0tdVrωεεcos)/(00trdVrωωμεεsin)2/(21000−10.tBmerdd21⋅tBmreRdd222⋅方向见图二、计算题11解：设小球摆至位置b处时悬线断了(如图)．此时小球的速度为v，取b点为势能零点，按机械能守恒定律有：2121vmmgh=①得θsin2212gLgh==v又LmmgT/sin2v=−θ②所以θθsin3/sin2mgLmmgT=+=v③21)3/(sin==mgTθ∴θ=30°又因θsin22gL=v∴gL=2v即gL=v．④悬线断后，小球在bC段作斜下抛运动．当球落到C点时，水平距离为θsintSv=即θθsincostLv=所以gLLLt330ctgsincos=°==vvθθ⑤而竖直距离为=+=2221cosgtthθvLLgLgL323/3))(321(=+所以LhhH5.321=+=12.解：(1)∫=TttFI01d)(∫π=TtTtF00d)/2sin(02cos200=ππ−=TTtTF×××××××××××DOr1CBvr2RCavDavLCaOSHh1h2bgmvvvθ5(2)∫=2/02d)(TttFIπ=ππ−=02/002cos2TFTtTFT(3)mTtFmFa/)/2sin(/0π==由于v0=0，所以∫=Tta0dv∫π=TtTtmF00d2sinTTtmTF002cos2ππ−=]1)2[cos(20−ππ−=TtmTF由动能定理2022121vvmmW−=t=0时v0=0，Tt21=时)/(0mTFπ=v∴)2/(2202mFTWπ=(4)质点在0到T21时间内，由静止开始作变加速直线运动，T21到T时间内，作变减速直线运动到静止，T到3T/2时间内，由静止开始作变加速直线运动，……速度大小作这样周期性变化的直线运动，速度方向始终不变，因而质点总沿一个方向运动．13.解：设极板宽度为L，液体未上升时的电容为C0=ε0HL/d液体上升到h高度时的电容为()dhLdLhHCrεεε00+−=()011CHhr⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=ε在U不变下，液体上升后极板上增加的电荷为()dhLUUCCUQr/100−=−=Δεε电源作功()dhLUQUAr/120−==Δεε液体上升后增加的电能20212121UCCUW−=Δ()dhLUr/12120−=εε液体上升后增加的重力势能2221gdhLWρ=Δ因A=ΔW1+ΔW2，可解出()2201gdUhrρεε−=14.解：(1)作发电机用时，取重物、电机、电路为系统，由于不计电机内阻损耗，m匀速下降，所以电机、重物的动能不变，根据功能原理，重力的功率应等于电阻上消耗的功率，设此时电路中电流强度为I1，则有RImg211=v①(2)作电动机时，电源供给的功率EI2，一部分消耗在电阻R上，另一部分用来提升重物2222vmgRII+=E②(3)设两种情况下绳中张力分别为T1、T2，因为重物匀速上升、下降，有mg=T1，mg=T2∴T1=T2由于电机在磁力矩和绳子的拉力矩作用下匀速转动，设线圈的磁矩分别为P1和P2，则：BPrTrTBP2211===即两种情况下，线圈的磁矩相等P1=P2，由于线圈一样，所以有I1=I2③6联立解得　112vvv−=mgRE15.解：(1)K接通后，长直螺线管回路为RL回路．L为长直螺线管的自感系数，且L=μ0n2V=μ0(N2/l)πb2，回路中有IRtIL=−ddE，分离变量得tLRRIdId/−=−E积分，利用初始条件t＝0时I＝0得：()LRtRI/e1−−=E．(2)穿过圆环的磁通量为：ovv45cosBSSB=⋅=Φ()22e12/0aRlNLRtπ−=−Eμ()LRtlRaN/20e122−−π=Eμ圆环中感应电动势的大小为：LRtiLRlRaNt/20e22dd−⎟⎠⎞⎜⎝⎛π==EEμΦLRtNba/22e22−=E感应电流为：LRtirNbari/22e22−==EE(3)圆环受的力矩的大小为：oo45sin45sin2BaiBpTmπ==()LRtLRtlRrba/2/2204ee2−−−π=Eμ对上式求极值，令0dd=tT得2lnRLt=，且0dd22tT∴在2lnRLt=时为最大力矩∴rRlbaT2204max8Eμπ=16.解：第二线圈回路满足的方程为：()0dddd232122=+++iRRtiMtiL其中i1为第一线圈内的电流，i2为第二线圈内的电流L2di2+Mdi1+(R2+R3)i2dt=0对t≥0的全部时间积分得：()[]∫=+++0dd232122dtiRRiMiL∵t＝0时，i1＝E/R1，i2＝0．t＝∞时，i1＝0，i2＝0．而qti=∫∞02d∴()0ddd02210/100221=+++∫∫∫∞tiRRiMiLRE即()0321=++−qRRRME，()321RRRMq+=E