2011年广州市高二数学竞赛试题

2011年广州市高二数学竞赛试题2011．5．15考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数3sin1fxxxxR，若()2fa，则()fa的值为()．A．2B．1C．0D．12．已知数列{}na的通项公式2log1nnan*nN,设其前n项和为nS，则使4nS成立的自然数n有（）．A．最大值15B．最小值15C．最大值16D．最小值163．如图所示的程序框图，若输入5n，则输出的n值为（）．A．3B．1C．1D．34．设ooosin(sin2011),sin(cos2011),cos(sin2011)abc，则,,abc的大小关系是()．A．abcB．bacC．cbaD．cab二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．5．若过定点1,0M且斜率为k的直线与圆05422yxx在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是*．6．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD内任取一点P，则点P到点A的距离不大于1的概率为*．开始2nn结束nfxxf（x）在（0，+∞）上单调递减？输出n是否输入n7．在ABC中，M是BC的中点，1AM，点P在AM上且满足PMAP2，则PCPBPA等于*．8．在△ABC中，若tantan1AB，则sin12C*．9．在R上定义运算).1(:yxyx若不等式1)()(axax对任意实数x成立，则a的取值范围是*．10．面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为1,2,3,4iai，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为(1,2,3,4)ihi，若31241234aaaak，则412()iiSihk．类比以上性质，体积为V三棱锥的第i个面的面积记为(1,2,3,4)iSi，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为(1,2,3,4)iHi，若31241234SSSSK，则41()iiiH*．三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．（15分）已知向量sin,cosxxa，6sincos,7sin2cosxxxxb，设函数2fxab．（1）求函数fx的最大值，并求取得最大值时x的值；（2）在A为锐角的ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若4fA且ABC的面积为3，232bc，求a的值．12．（15分）如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC＝AD＝CD＝DE＝2a，AB＝a，F为CE的中点．（1）求证BF⊥平面CDE；（2）求多面体ABCDE的体积；（3）求平面BCE和平面ACD所成的锐二面角的大小．13．（20分）已知椭圆12222byax（0ba）的右焦点为2(3,0)F，离心率为e．（1）若32e，求椭圆的方程；（2）设直线ykx与椭圆相交于A，B两点，,MN分别为线段22,AFBF的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且2322e，求k的取值范围．EFABCD14．（20分）设无穷等差数列{}na的前n项和为nS，求所有的无穷等差数列{}na，使得对于一切正整数k都有33kkSS成立．15．（20分）定义在R上的函数2()1xbfxax(,abR且0a）是奇函数，当1x时，)(xf取得最大值．（1）求ab、的值；（2）设曲线)(xfy在点00(,())xfx处的切线l与y轴的交点为(0,)t，求实数t的取值范围．