2011天津市高等数学竞赛真题答案经管类

2011年天津市大学数学竞赛试题参考解答(经管类)一.填空题（本题15分，每小题3分）:1.设()fx是连续函数,且0()lim41cosxfxx,则01()lim1xxfxx2e.2.设223()2xfxaxbx,若lim()0,xfx则a2,b4.3.1elndxxxxeln.xxC4.设(,)fxy是连续函数,且(,)(,)dd,Dfxyxyfxyxy其中D由x轴、y轴以及直线1xy围成,则(,)fxy1.12xy5.ln4ln21de1xx.6二.选择题（本题15分，每小题3分）:1.设()(2)ln(1),fxxx则()fx在0x处(A)(0)2f,(B)(0)0f,(C)(0)2f,(D)不可导.答:(A)2.设函数()yfx具有二阶导数,且满足方程sine0.xyy已知0()0,fx则(A)()fx在0x的某个邻域中单调增加,(B)()fx在0x的某个邻域中单调增少,(C)()fx在0x处取得极小值,(D)()fx在0x处取得极大值.答:(C)3.图中曲线段的方程为()yfx,函数()fx在区间[0,]a上有连续的导数,则积分0()daxfxx表示(A)直角三角形AOB的面积,(B)直角三角形AOC的面积,(C)曲边三角形AOB的面积,(D)曲边三角形AOC的面积.答:(D)4.设在区间[,]ab上的函数()0,fx且()0,fx()0.fx令1()d,baSfxxOxCyA(,0)Ba()yfx2()(),Sfbba31[()()](),2Sfafbba则(A)123,SSS(B)312,SSS(C)213,SSS(D)231.SSS答:(C)5.设函数(,)fxy连续,且20111d(,)dd(cos,sin)dxbdxacxfxyxfrrrr,则,,,abcd取值为(A)1,,,1;2sincosabcd(B)1,,,1;2sincosabcd(C)0,,sincos,1;2abcd(D)0,,sincos,1.2abcd答:(B)三.(7分)设函数()fx在点0x处可微,求极限002limcos()cos().nnfxfxn解由导数的定义和复合函数的求导法则00002cos()cos()2limcos()cos()(2)lim2nnfxfxnnfxfxnn000(2)[cos()]2sin()().xxfxfxfx四.(7分)设函数()fx在(,)上二阶可导，且0()lim0xfxx，记10()()xfxtdt，求)(x的导数，并讨论)(x在0x处的连续性.解由已知的极限知(0)0,(0)0,ff从而有10(0)(0)d0.ft当0x时,1100011()()()()d()()d,xfxxfxtdtfxtxtfuuxxx从而有(),0()0,0.fxxxxx因为00()lim()lim0(0),xxfxxx所以,()x在0x处连续.当0x时,2()()(),xfxfxxx在0x处,由(0)0,有2000()(0)()()1(0)limlimlim(0)22xxxxfxfxfxxx所以,2()(),0()1(0),0.2xfxfxxxxfx而200000()()()()lim()limlimlimlim2xxxxxfxfxfxfxxxxxx001()1()(0)1limlim(0)(0),222xxfxfxffxx故()x在0x处连续.五.(7分)已知函数((,))yfxx的导函数yfx是三次多项式，其图像如下图所示：（Ⅰ）关于函数xfy,填写下表:单调增区间单调减区间极大值点极小值点曲线向下凸区间曲线向上凸区间曲线的拐点（Ⅱ）若还知道xfy的极大值为6，点2,2在曲线xfy上，试求出xfy的表达式.Oxy22332332解（Ⅰ）单调增区间（-2,0）,(2,)单调减区间(,2),(0,2)极大值点0极小值点-2,2曲线向下凸区间2323(,),(,)33曲线向上凸区间2323(,)33曲线的拐点23232323(,()),(,())3333ff（Ⅱ）设32,yaxbxcxd则由(0)0,(2)0,(2)0,yyy得0,0,4,dbca故34,yaxax从而422.4ayxaxm再由(0)6,(2)2,yy得1,6.am所以42126.4yxx六.(7分)设函数()yyx在(,)上可导,且满足22,(0)0.yxyy(Ⅰ)研究()yx在区间(0,)的单调性和曲线()yyx的凹凸性.(Ⅱ)求极限30()lim.xyxx解(Ⅰ)当0x时,有220,yxy故()yx在区间(0,)单调增加.从而当0x时,22yxy也单调增加.可见,曲线()yyx在区间(0,)向下凸.(或当0x时,可得222222()0.yxyyxyxy可见,曲线()yyx在区间(0,)向下凸.)(Ⅱ)由题设知,(0)(0)0.yy应用洛必达法则22322000()()limlimlim33xxxyxyxxyxxx22011111lim(0).33333xyyx七.(7分)设()fx在[0,1]上具有连续导数,且0()1,(0)0.fxf试证211300()d][()]d.fxxfxx证令2300()()d[()]d,xxFxfttftt则()Fx在[0,1]连续,且对(0,1)x,30()2()()d[()]xFxfxfttfx20()2()d().xfxfttfx又由题设知,当(0,1)x时,()0.fx令20()2()d(),xgxfttfx则()gx在[0,1]上连续,且()2()[1()]0,(0,1),gxfxfxx故有()(0)0(0,1).gxgx因此()0,(0,1),Fxx于是()Fx在[0,1]上单调增加,()(0)0,[0,1].FxFx取1x,即得211300(1)()d[()]d0.Ffttftt所证结论成立.八.(7分)(Ⅰ)设函数(),()fxgx在区间[,]aa上连续(0)a,()gx为偶函数,()fx满足条件()()fxfxc(c为常数).证明:0()()d()daaafxgxxcgxx;(Ⅱ)设()()sin,uxxnx其中n为正整数,22,0,(),0.xxxxxxx计算定积分()arccotedxIuxx.解(Ⅰ)00()()d()()d()()d.aaaafxgxxfxgxxfxgxx对于上式右边的第一个积分,令,xt有000()()d()()d(())()daaafxgxxftgttcfxgxx00()d()()daacgxxfxgxx所以000()()d()()d()()d()d.aaaaafxgxxfxgxxfxgxxcgxx(Ⅱ)由于22e(arccotearccote)0,1e1xxxxxxee而当0x时,arccot1arccot1,2因此,arccotearccote.2xx容易验证,()ux是偶函数.应用(Ⅰ)的结论20()arccoted()sind2xIuxxxxnxx2011()cos(2)cosd02xxnxxnxxnn22012(2)sinsind02xnxnxxnn33(1cos)[1(1)].nnnn九.(7分)设函数()fx在闭区间[,]ab上连续,并且对任一[,]xab,存在[,]yab使得1()|()|.2fyfx证明:存在[,],ab使()0.f证法一应用闭区间上连续函数的最值定理,存在12,[,]xxab,使12[,][,]()min()()max().xabxabfxmfxfxMfx由题设,对于[,]xab,存在[,]yab,使得1()|()|0.2fyfx可见0.M现在证明:1[,]()min()0.xabfxmfx事实上,假如1()0,fxm由题设,存在0[,]xab,使011111()()()()22fxfxfxfx此与“1()fx是()fx在[,]ab上的最小值”矛盾.综上,得到结论:0.mM于是,应用介值定理,存在[,],ab使()0.f证法二任取一个0[,],xab由题设存在1[,],xab使101()().2fxfx从而存在2[,],xab使210211()()().22fxfxfx如此继续下去,可得数列{}[,],nxab使01()()0().2nnfxfxn由于有界无穷数列{}nx必有一个收敛的子数列{}knx,可设存在一个[,]ab,使lim.kknx由()fx的连续性,()lim()0.kknffx证毕.十.(7分)设函数()yfx具有二阶导数,且()0.fx直线aL是曲线()yfx上任意一点(,())afa处的切线,其中[0,1].a记直线aL与曲线()yfx以及直线0,1xx所围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为().Va试问a为何值时()Va取得最小值.解切线aL的方程为()()(),yfafaxa即()()().yfaxafafa于是10()2[()()()()]dVaxfxfaxafafax10112()d()()().322axfxxfafafa可见,()Va在[0,1]连续,在(0,1)可导.令1()2[()()]()(32)0323aVafafafaa,由于()0,fa()Va在(0,1)内有唯一的驻点2.3a并且,当2(0,)3a时,()0Va;当2(,1)3a时,()0,Va因此,()Va在23a处取得最小值.十一.(7分)设（1）闭曲线是由圆锥螺线OA：zyx,sin,cos，（从0变到2）和直线段AO构成，其中0,0,0O，2,0,2A；（2）闭曲线将其所在的圆锥面22zxy划分成两部分，是其中的有界部分.在xOy面上的投影区域为D.(Ⅰ)求D上以为曲顶的曲顶柱体的体积;(Ⅱ)求曲面的面积.解(Ⅰ)在xOy面上的投影区域为D,在极坐标系下表示为:Oxy1aaL()yfx0,02.r故所求曲顶柱体的体积为22ddDVxyxy2200ddrr234014d.33(Ⅱ)所在的圆锥面方程为22zxy,曲面上任一点处向上的一个法向量为2222(,,1)(,,1).xyxynzzxyxy故所求曲面的面积221dd2ddxyDDSzzxyxy22230002422ddd.23rr