2012年初中数学竞赛试题

八年级数学试题（试卷满分：100分考试时间：2010年5月22日上午10:30—12:30）（沉着冷静，细心答题；挑战自我，相信自己！）题号一二三总分131415161718得分一、精心选一选，相信你选得准！（每小题5分，共30分）1．三角形的三边长分别为6，1－3a，10，则a的取值范围是（）A．－6＜a＜－3B．5＜a＜1C．－5＜a＜－1D．a＞－1或a＜－52．使分式xxyzx5201020092010201020092008有意义的x的取值范围是（）A．x≠0B．x≠0且x≠±402C．x≠0且x≠402D．x≠0且x≠－4023．如图，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，且∠1＋∠2＝72°，则∠A＝（）A．72°B．24°C．36°D．18°4．已知一个梯形的四条边长分别为2、3、4、5，则此梯形的面积为（）A．5B．8C．3310D．35145．如图，E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连CE、AF，设CE、AF相交于G，则SBEGF四边形∶SABCD四边形等于（）A．41B．92C．61D．1036．已知x为实数，且13x＋14x＋15x＋…＋117x的值是一个确定的常数，则这个常数是（）A．5B．10C．15D．75二、细心填一填，相信你填得对！（每小题5分，共30分）7．已知实数x、y满足x2—3x＋4y＝7，则3x＋4y的最大值为__________．8．如果a、b是整数，且x2＋x—1是ax3＋bx＋1的因式，则b的值为__________．9．如图，E、F分别是矩形ABCD的BC边和CD边上的点，且S△ABE＝3，S△ECF＝8，S△ADF＝5，则矩形ABCD的面积为__________．10．如图△ABC中，AD平分∠BAC，且AB＋BD＝AC，若∠B＝62°，则∠C＝__________．6m＝11．已知k＝acbabcbaccba，且n2＋16＋8n，则关于x的一次函数y＝－kx＋n－m的图象一定经过第BDECA12（第3题图）ADFCEB（第9题图）（第10题图）ABCDCFBEAG（第5题图）D__________象限．12．若a＋x2＝2008，b＋x2＝2009，c＋x2＝2010，且abc＝24，则bca＋acb＋abc－a1－b1－c1的值为__________．三、用心做一做，试试你能行！（共40分）13．（8分）蕲春红人电器行“家电下乡”指定型号的冰箱彩电的进价和售价如右表所示：⑴按国家政策，农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴；农民蕲大伯到该电器行购买了冰箱一台，彩电两台，可以享受多少元的政府补贴？（2分）⑵为满足农民需求，红人电器行决定用不超过85000元采购冰箱和彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的65．①请你帮助该电器行设计相应的进货方案；（3分）②哪种进货方案电器行获得的利润最大？(利润＝售价－进价)最大利润是多少？(3分)类别冰箱彩电进价(元/台)23201900售价(元/台)2420198014．（8分）如图，已知：正△OAB的面积为34，双曲线y＝xk经过点B，点P(m，n)(m＞0)在双曲线y＝xk上，PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设矩形OCPD与正△OAB不重叠部分的面积为S．⑴求点B的坐标及k的值；⑵求m＝1和m＝3时，S的值．15．（8分）已知a、b、c均为正数，且满足如下两个条件：4132abcbaacbacbcacbcba证明：以a、b、c为三边长可构成一个直角三角形．BAxOy（第14题图）16．（加油啊！加油！加油！！）（8分）2010年4月14日青海省玉树发生了7.1级大地震，驻军某部（位于距玉树县城结古镇91公里处的上拉秀镇）接到上级命令，须火速前往结古镇救援．已知该部有120名官兵，且步行的速度为每小时10公里，现仅有一辆时速为80公里的卡车，可乘坐40人，请你设计一个乘车兼步行方案，使该部120人能在最短时间内赶往重灾区结古镇救援．其中中途换车（上、下车）的时间均忽略不计，最快多少时间可以赶到？（可用分数表示）17．（6分）计算：2sin45°＋sin2α＋cos2α＋330cos2360tan18．（8分）如图，△ABC的边AB＝3，AC＝2，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB、AC、BC为边的正方形，求图中三个阴影部分的面积之和的最大值是多少？（做完了请仔细检查一遍啊！）参考答案一、选择题1．C2．B3．C4．D5．C6．A5．利用重心定理CG＝3GE（G为△ABC的重心）6．由于原式的值是一个确定的常数，则把绝对值符号去掉后应消去x，而3＋4＋…＋12＝13＋(14＋…DGFBCⅢⅡⅠEMHA（第18题图）＋1)，因此12x－1≤0且13x－1≥0，∴121131x，故原式＝(1－3x)＋(1－4x)＋…＋(1－12x)＋(13－x－1)＋…＋(17x－1)＝5二、填空题7．168．－29．3010．31°11．一、二12．81三、解答题13．（8分）⑴(2420＋1980×2)×13%＝829.4..............................................................2分⑵①设冰箱采购x台，则彩电采购(40－x)台，根据题意得)40(658500)40(19002320xxxx解不等式得：732111218x............................................................................4分∵x为正整数，∴x＝19，20，21∴该商场共有3种送货方案.......................5分②设商场获得总利润y元，根据题意得：y＝(2420－2320)x＋(1980－1900)(40－x)＝20x＋3200...............................7分∵20＞0，∴y随x的增大而增大∴当x＝21时，y最大＝3620元故方案3利润最大，最大利润是3620元.........................................................8分14．（8分）①B(2，32)，k＝34.............................................................................4分②当m＝1时，S＝327.........................................................................................6分当m＝3时，S＝31817........................................................................................8分15．（8分）证法一：结合①式，由②式可得：41232232232abccabbca变形，得1024－2(a2＋b2＋c2)＝abc41③又由①式得(a＋b＋c)2＝1024.................................................................................3分即a2＋b2＋c2＝1024－2(ab＋bc＋ac)代入③式，得1024－2[1024－2(ab＋bc＋ca)]＝abc41即abc＝16(ab＋bc＋ac)－4096(a－16)(b－16)(c－16)＝abc－16(ab＋bc＋ac)＋256(a＋b＋c)－163＝－4096＋256×32－163＝0所以a＝16或b＝16或c＝16..................................................................................6分结合①式可得b＋a＝c或c＋a＝b或c＋b＝a.....................................................7分因此，以c、b、a为三边长可构成一个直角三角形.......................................8分冰箱买台彩电买台方案11921方案22020方案3211916．（8分）要使所用时间最短，卡车只能一直不停地往返载人行进，设有乘车的人也一直不停地向目的地行进，最后使120人同时到达结古镇，由于每车只能乘坐40人，因此将120人分成三组，安排乘车和步行如图所示：......................................................................................................1分其中图中箭头路线是汽车往返路线易知AE＝CF＝DB，AC＝CD＝EF＝FB设AE＝CF＝DB＝x(公里)，AC＝CD＝EF＝FB＝y(公里)由题意知：第一组乘车AE＋步行EB＝全程AB汽车AE＋EC所用时间与步行AC所用时间相等∴1080)(912yyxxyx.................................................6分解得：1463yx......................................................7分故全部由上接秀镇赶到玉树县城所用最短时间为：80473101428063(小时).....8分18．（8分）把△CFH绕点C顺时针旋转90°，使CF与BC重合，H旋转到H'的位置，可知A、C、H'在一直线上.........................................2分且BC为△ABH'的中线∴S△CHF＝S△BCH'＝S△ABC...................................4分同理：S△BDG＝S△AEM＝S'△ABC..........................5分所以阴影部分面积之和为S△ABC的3倍.............6分又AB＝3，AC＝2当AB⊥AC时，S△ABC最大值为：33221∴阴影部分面积的最大值为3×3＝9(平方单位)8分ACDEFB（结古镇）（上拉秀镇）第一组第二组第三组DGFBCⅢⅡⅠEMHAH'