2012年新高一数学竞赛13

平面几何竞赛基础13──圆与圆位置关系姓名_____________爱因斯坦曾说：如果平面几何不能激起一个人的好奇心，那么这个人在科学上的发展也不会很远诶．自学处理方法：先阅读完成例题解答，再独立完成练习并将解答回发[e-mail]邮箱，以便批阅反馈．注意要求目的：要求独立完成，可以参阅资料．目的是开学后考试选拔100名思维好且钻研能力强的竞赛选手．一、基本知识设大圆半径为R，小圆半径为r，两圆圆心距离（圆心距）为d，则dR+r两圆外离；d=R+r两圆外切；R-rdR+r两圆相交；d=R-r两圆内切；dR-r两圆内含．特别地d=0，两圆为同心圆．对于两圆相切，连心线经过切点．相交的两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．对外离或外切的两圆，都存在两条外公切线，两条外公切线之长相等．对外离的两圆，也有两条内公切线，两条内公切线也相等．二、重要例题例1．三个等圆都通过O点，两两另外圆的交点是A、B、C；这三个等圆的圆心是O1，O2，O3，求证：△ABC≌△O1O2O3．（提示：可按图中辅助线思考）例2．⊙O1与⊙O2相交于A，过A作直线交⊙O1于C交⊙O2于D，设M是O1O2中点，N是CD中点；求证：MN=MA．（提示：可按图中辅助线思考）例3．以A、B、C为圆心的三个圆，半径均为r，其中1r2，每两个圆心间的距离都是2，若B是圆A和圆C的交点且在圆B外，C是圆A和圆B的交点且在圆C外；试求BC的长．（提示：连'ACBCABBC、、、，''BC交AC于E，交AB于D，作'BFAC于F，对称性）例4．如图，五个圆顺次相切，并且都和直线l1、l2相切，如果最大的圆半径是18，最小圆的半径是8，试求：正中间的圆的半径．（提示：利用相似三角形）例5．在△ABC中，ABACBC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD=BE=AC，△BDE的外接圆与△ABC的外接圆交于F点；求证：BF=AF+CF．（提示：可用图中辅助线）MFEDABC例6．从以AB为直径的半圆上一点P引PC⊥AB于C，以AC为直径的圆和PA交于D点，以BC为直径的圆和PB交于E点；求证：DE是这两圆的公切线．（提示：可用图中辅助线）OPDEBCA三、巩固练习13（以下两道题的解答要回发到邮箱[e-mail]）1．如图，⊙O1和⊙O2相交于M、N两点，O1M交⊙O2于A1，交⊙O1于A2；O2M交⊙O2于B1，交⊙O1于B2，试证：直线A1B1，A2B2，MN相交于一点．2．已知两圆⊙O及⊙O1互相外切于P，过P引互相垂直的两条直线，分别交⊙O及⊙O1于A、D及B、C；求证：AD2与BC2的和等于两圆直径和的平方．