2013年北京市中学生数学竞赛-高一组

2013年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答选择题答案1D2B3B4A5C6A填空题答案11223441285116637{1979,1985,1991,2003}82m2n2(m+n)21−191024一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或不答均计0分）1．已知集合A={1,2,3,4,5}，B={2,3,4,5,6}，则集合C={(a,b)|a∈A,b∈B,且关于x的方程x2+2ax+b2=0有实根}的元素个数为y（A）7．（B）8．（C）9．（D）10．•解当a＞0，b＞0时，x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为6a≥b.y=x5•而D设集合D={(a,b)|a∈A,b∈B}，的元素个数为5×5=25个，C是D的子集，·因此，集合C的元素如下面的整点图中的黑点所示：4•··因此,C的元素个数等于10．3•···2•2．已知24−a−8−a=2，则24−a+8−a等于（A）7．解（B）8．（C）9．（D）10．24−a····•121•••24−a+8−a=()(−28−a)234••5x24−a−8−a=24−8=8．23．如图所示，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O，3k+1yy=x3k+1矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的HCBx图像上，若A点的坐标为(−2,−2)，则k等于OxFG（A）2．（B）1．（C）0．（D）−1．ADE解因为矩形的对角线平分矩形的面积，所以矩形CHOG的面积=矩形OFAE的面积=|−2|×|−2|=4．即3k+1=OG×GC=4，因此k=1．4．定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x+1)=−f(x)，且在区间[−1,0]上递增，则（A）f(3)f(3)f(2)．（B）f(2)f(3)f(3)．第1页共5页（C）f(3)f(2)f(3)．（D）f(2)f(3)f(3)．解根据题意f(x)=−f(x+1)=−[−f(x+2)]=f(x+2)，因为f(x)是偶函数，f(a)=f(−a)，即则f(3)=f(1)=f(−1)，f(2)=f(0)，f(3)=f(−3)=f(2−3)=f(3−2)．而−1＜3−2＜0，f(x)在区间[−1,0]上递增，所以f(3)f(3)f(2)．5．由1开始的连续n个正整数相乘，简记为n!=1×2×…×n，如3!=1×2×3=6，123456710!=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3628800等等，则++++++等于2!3!4!5!6!7!8!71950394031940321（A）．（B）．（C）．（D）．72050404032040320n−1n111解因为=−=−，所以n!n!n!(n−1)!n!1234567++++++2!3!4!5!6!7!8!⎛21⎞⎛31⎞⎛41⎞⎛51⎞⎛61⎞⎛71⎞⎛81⎞=⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟⎝2!2!⎠⎝3!3!⎠⎝4!4!⎠⎝5!5!⎠⎝6!6!⎠⎝7!7!⎠⎝8!8!⎠1⎞⎛11⎞⎛11⎞⎛11⎞⎛11⎞⎛11⎞⎛11⎞⎛=⎜1−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟⎝2!⎠⎝2!3!⎠⎝3!4!⎠⎝4!5!⎠⎝5!6!⎠⎝6!7!⎠⎝7!8!⎠1140319=1−=1−=．8!4032040320�6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为劣弧CD上一点，PAP交BD于点M，PB交AC于点N，记∠PAC=θ，若MN⊥PA，则DM2cos2θ−tanθ的值等于CNOB（A）1．（B）解∴∵∵∴122．（C）．（D）．θ224A∵四边形ABCD是正方形，∠ACB=45º，DB⊥AC，∴∠APB=∠ACB=45º，MN⊥PA，∴∠MNP=∠APB=45º，∴MP=MN．AC为圆的直径，∴∠APC=90º，∴P、M、O、C四点共圆．AM·AP=AO·AC．因此AO2MN2⋅AO2−AM⋅MN2cosθ−tanθ=2⋅−=AM2AMAM2AO⋅AC−AM⋅MNAM⋅AP−AM⋅MN==AM2AM2AP−MNAP−PM===1．AMAM2第2页共5页二、填空题（满分64分，每小题8分，请将答案填入第1页指定地方）1．求sin230�+sin235�+sin240�+sin245�+sin250�+sin255�+sin260�tan36�×tan339�×tan542�×tan745�×tan548�×tan351�×tan54�的值．解注意到sin2α+sin2(90º−α)=sin2α+cos2α=1，sin245º=1，2n为正整数时，tannα×tann(90º−α)=tannα×cotnα=(tanα×cotα)n=1，tan45º=1，则sin230�+sin235�+sin240�+sin245�+sin250�+sin255�+sin260�=3.5．tan36�×tan339�×tan542�×tan745�×tan548�×tan351�×tan54�2．f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，求f(−10)的值．解因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，即20+2×0+b=0，得b=−1．由奇函数的性质f(−x)=−f(x)，有若x＜0，即−x＞0，则−f(x)=f(−x)=2−x−2x−1，即f(x)=−2−x+2x+1(x＜0)．所以f(−10)=−2−10−2×10+1=−11−19=−19．102410243．若实数x,y,z满足方程x+9+x−7+位数字．解易见x≥7，则x+y−z=4，试确定(5x+3y−3z)2013的末4x+y−z≥0，又x,y,z满足方程4x+9+x−7≥4，而x+9+x−7+x+y−zx+y−z=0．=4，所以x+9+x−7=4，且44所以x=7，x+y−z=0，(5x+3y−3z)2013=142013，这个数的末位数字为4．4．如右图，正方形ABCD被分成了面积相等的8个三角形，D如果AG=50，求正方形ABCD面积的值．解过F作KL//DC，取AB的中点N，延长GN交AH于P，设正方形ABCD的边长为a，AFGPANHBEGHBCLIFCI1由于△DCI、△ABH的面积都是正方形ABCD面积的，所D8K1a以CI=BH=BC=．E44由△ADF的面积=△DCL的面积的2倍，得第3页共5页11AD×KF=2×CD×CI22所以KF=2CI=1a.所以F为DI中点．2易见，E是AF的中点，由△FAG、△FHG的面积相等，可得AP=PH，即FP为△FAH的一条中线，因此F、P，N是一条直线．同理可证，HG的延长线必过AE的中点E，所以HE为△FAH的另一条中线，中线1FG．2FP与HE的交点G为△FAH的重心，GP=1HI+AD2a+a3a注意FP为梯形AHID的中位线，FP//BC，所以FP===，所以2241aaa3aGP=FP=，所以GN=GP+PN=+=．34488a25a225a2⎛a⎞⎛3a⎞2而AN=，根据勾股定理，AG=⎜⎟+⎜⎟=有，50=即，所以a2=128．26464⎝2⎠⎝8⎠5．已知实数m、n满足m−n=10，m2−3n2为质数．若m2−3n2的最大值为a，最小值为b．试确定a−b的值．解设m2−3n2=p（p为质数）由m−n=10，得m=10+n，∴Δ=40−8p+80≥0，∴p≤15．∴p的最大值a=13，最小值b=2，∴a−b=11．6．在△ABC的边BC上有一点D，∠ADB是锐角，P、Q分别是△ABD、△ACD的外心，且四边形3APDQ面积是△ABC面积的．求sin∠ADB的值．422①②把②式代入①式得(10+n)2−3n2=p，整理得2n2−210n+p−10=0，解连结PQ，易证△AQP≌△DQP，由已知得S∆AQPS∆ABC3=，8S∆AQP⎛AQ⎞2易证：△APQ∽△ABC，所以=，S∆ABC⎜AC⎟⎝⎠所以AQ3=．AC22连结QC，作QH⊥AC于H，则第4页共5页∠ADB=∠ACD+∠CAD=1�1�1�1AD+CD=ADC=∠AQC=∠AQH．2222所以sin∠ADB=sin∠AQH=26=．337．S(x)表示自然数x的数字和，试确定方程x+S(x)+S(S(x))=2013的解集．解显然x＜2013，S(x)最大为28，而S(S(x))最大为10，因此x最小为2013−38=1975．因此1975≤x＜2013，容易试验得x=2003，S(2003)=5，S(S(2003))=5，2003+5+5=2013；x=1991，S(1991)=20，S(S(1991))=2，1991+20+2=2013；x=1985，S(1985)=23，S(S(1985))=5，1985+23+5=2013；x=1979，S(1979)=26，S(S(1979))=8，1979+26+8=2013．除此之外的x都不满足方程，所以解集是{1979,1985,1991,2003}．8．直角△ABC中，内切圆⊙O切斜边AB于D，切BC于E，切CA于F，作DK⊥AC于K，DP⊥BC于P，已知AD=m，BD=n，试确定矩形CKDP的面积（用m，n来表示）．解设内切圆半径为r，连接OD，OE，OF，如图，则OD=OE=OF=r．由切线长定理得BPEC•OnDmAAD=AF=m，BD=BE=n，CE=CF=r．设△ABC的半周长为p，面积为S，则p=r+m+n，所以S=(r+m)(r+n)．2FK即2S=r2+rm+rn+mn=r(r+m+n)+mn=rp+mn．因为S=rp，代入上式得S=mn．因为DK//BC，所以△ADK∽△ABC，所以S∆ADKm2m2m3n=S∆ABC×=mn×=，(m+n)2(m+n)2(m+n)2n2n2mn3=S∆ABC×=mn×=，(m+n)2(m+n)2(m+n)2同理可得S∆BDPm3nmn32m2n2因此，矩形CKDP的面积=mn−．−=(m+n)2(m+n)2(m+n)2第5页共5页