2014年全国初中数学竞赛九年级预选赛试题参考答案

2014年全国初中数学竞赛九年级预选赛试题参考答案本卷由蕲春县濒湖晨光学校石子据外来试题影相录制并解答，正确性不保一．选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）1．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙．那么甲的速度是乙的速度的（）倍．A．a＋bbB．ba＋bC．a＋bb－aD．a＋ba－b【分析】a(v甲＋v乙)＝b(v甲－v乙)，由此可得C正确．2．方程(x2＋x－1)x＋3＝1的所有整数解共有（）个．A．5B．4C．3D．2【分析】分三种情况：①a0＝1，a≠0，x＋3＝０，x＝－3,此时x2＋x－1＝5≠0；②1n＝1，x2＋x－1＝1，x＝－2或1；③(－1)2n＝1，x2＋x－1＝－1，x＝－1或0，但x＝0时，不满足；故x＝－3,－2,－1，1，选B．3．已知A(－1，2)、B(3，2)，C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的C点共有（）个．A．3B．4C．5D．6【分析】本题参照图解的5种情况，选C．4．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数分别为x、y、z，则1x＋1y＋1z的值为（）．A．1B．23C．12D．13【分析】据平面密铺的定义，参与密铺的三个多边形各出一个内角，三内角之和为360°．即(x－2)180°x＋(y－2)180°x＋(z－2)180°x＝360°，或者先求外角再求内角，所列方程则为：180°－360°x＋180°－360°y＋180°－360°z＝360°，整理两者，均可得1x＋1y＋1z＝12；选C．5．一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后原地逆时针旋转α（0°＜α＜180°），被称为一次操作．若5次操作后，发现赛车回到出发点，则α为（）．A．72°B．108°或144°C．144°D．72°或144°【分析】考虑两种情况，如下两图所示，本题选D．第5题图第3题图α＝72°α＝144°xyOABαα21543二.填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．代数式x2＋4＋(12－x)2＋9的最小值是．【分析】考虑数形结合，运用勾股定理构图如下：AP＋BP≥AB＝52＋122＝13．第7题图第6题图OPFEBACD123x12－x32P’CPNMBA7．如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于P，交角为45°，若PE2＋PF2＝8，则AB＝．【分析】作OC⊥EF于C,FD⊥AB于D,连接OE、OF,设OC＝a,PD＝b,则PC＝a,OP＝2a,BF＝b,PF＝2b,CE＝CF＝a＋2b,PE＝2a＋2b，记OE＝OF＝R，在△OCE中，a2＋(a＋2b)2＝R2，则R2＝2a2＋22ab＋2b2；又PE2＋PF2＝8，即(2a＋2)2＋(2b)2＝8，所以a2＋2ab＋b2＝2，故R＝2，AB＝2R＝4．8．已知a、b为正整数，a＝b－2005，若关于x的方程x2－ax＋b＝0有正整数解，则a的最小值是．【分析】由根与系数关系知：x1＋x2＝a，x1x2＝b，又a＝b－2005，∴x1＋x2＝x1x2－2005，x1x2－x1－x2＋1＝2006，∴(x1－1)(x2－1)＝1×2006＝2×1003＝2×17×59＝34×59，(x1，x2)＝(2，2007)，(3，1004)，(35，60)，由此知a＝x1＋x2＝2009，1007，95，则最小值是95．9．双曲线y＝kx和y＝1x在第一象限内的图象如图所示，P在y＝kx的图象上，PC⊥x轴于C，交y＝1x的图象于A，PD⊥y轴于D，交y＝1x的图象于B，当P点在y＝kx的图象上运动时，下列结论：①△OBD与△OAC的面积相等；②四边形PAOB的面积保持不变；③PA＝PB；④若A是PC的中点，则B是DP的中点．其中一定正确的的序号是．FEDCBA【分析】由k的几何意义知S△OBD＝S△OAC＝12；S四边形PAOB＝k－1；仅当P（k，k）时，PA＝PB；令P（2a，2b），则A（2a，b），B（a，2b），由此知B是DP的中点．故①②④均正确．xyOPABCD第9题图AB第10题图10．如图，一个圆作滚动运动，它从A位置开始，滚运与它相同的其他6个圆的上部，到达B位置．则该圆共滚过圈．【分析】设圆的半径为R,则总路径长是120360·2π·2R·2＋60360·2π·2R·4＝163πR，则共转了163πR÷2πR＝83（圈）．三.解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是AD、CD上两个动点，且满足AE＋CF＝2．（1）判断△BEF的形状，并说明理由；（2）记△BEF的面积为S，求S的取值范围．【解】（1）△BEF是等边三角形，理由如下：∵AE＋DE＝AE＋CF＝2，∴DE＝CF，又菱形ABCD的边长为2，BD＝2，∴△ABD与△BCD均为等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，BD＝BC，∴△BDE≌△BCF，∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，∵∠CBF＋∠DBF＝60°，∴∠DBE＋∠DBF＝60°，即∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形．（2）∵△BEF为等边三角形，∴S＝34BF2，当E→D，F→C，BF最大，BF＝2；当BF⊥CD时，BF最小，BF＝3；故334≤S≤3．12．预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数量少10个，但总金额仍多用29元；若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数量少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；f(x)f(x)xOxOx1x2（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205而小于210，求x、y的值．【解】（1）设甲商品原单价为a元，乙商品原单价为b元，则ax＋by＝1500①(a＋1.5)(x－10)＋(b＋1)y＝1529②(a＋1)(x－5)＋(b＋1)y＝1563.5③联立可得0.5x＋y＝93，即y＝93－0.5x；（2）205＜2x＋y＜210，又y＝93－0.5x，∴7423＜x＜78，又x为整数，∴x＝75，76，77，但x＝75，77时，y不是整数，∴x＝76，y＝55．13．在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程x2＋kx＋3x－1＝3x＋k的解，求实数k的取值范围．【解】原方程可化为2x2－3x－k－3＝0，首先考虑增根：k＝2x2－3x－3，令x＝1，则k＝－4；k＝－4时，2x2－3x＋1＝0，(2x－1)(x－1)＝0，x1＝12，x2＝1（增根舍去）令f(x)＝2x2－3x－k－3，∵a＝2＞0，显然抛物线对称轴在x轴的正半轴上，于是分两种情况：ⅰ）△＝0时，k＝－338，此时x＝34；ⅱ）x1x2≤0，即－k＋32≤0，k≥－3．特别地，当k＝－3时，2x2－3x＝0，x1＝32，x2＝0（舍去）综上所述，k＝－4，－338或k≥－3．14．如图，A（0，1），B是y轴的负半轴上的一个动点，以AB为边作菱形ABCD，其对角线的交点M恰好落在x轴上．记D（x，y）．（1）求M点的坐标；（2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若P是（2）中函数图象上的动点，Q（0，t）是定点，是否存在平行于x轴的直线l，使得直线l被以线段PQ为直径的圆截得的弦长始终为定值？若存在，求t的取值范围和直线l的解析式（用含t的代数式表示）；若不存在，请说明理由．EMBDCAxyOFEQPNMy=14x2xy(0，t)y＝nO【解】（1）M(x2，0)；（2）作DE⊥OA于E，则OE＝y，AE＝1－y，DE＝x，AD＝AB＝1＋y，在Rt△ADE中，(1－y)2＋x2＝(1＋y)2，故y＝14x2，由于B是y轴的负半轴上的一个动点，所以x≠0；（3）设)4,(2mmp，则圆心)812,2(2mtmE，作EF⊥MN于F，MN就是直线l：ny被⊙E所截得的弦长，则22222)812()2(mtnmEQEN，222)812(mtnEF，则在Rt△EFN中，222222)812()812()2(mtnmtnmFN22)1(41nntmtn，考虑到m为变量，当1nt时，1tn，122tnntFN≥0，此时t≥1，即12tMN，即当1ty时，弦长12tMN（定值），t≥1．原题上传后，李先传先生就第2问自变量的取值范围提出质疑，现已作修正，并提示第3问的解法，用垂径定理解决弦长，从而避开圆的方程，根据提示，录排如上．此法避免了圆的方程．附第3问用圆的方程求解设)4,(2mmP,则圆心为)82,2(2mtm，圆的方程为])4([41)82()2(222222mtmmtymx，化简，得041412222tmytymymxx设直线的方程为ny，则041412222tmntnmnmxx，设交点的横坐标为21,xx，aacbxx4221，本处1a，则tmntnmnmacbxx22222221444=2244)1(nntmtn考虑到m为变量，当1nt时，1tn，)1(44221tnxx≥0，此时t≥1，即当1ty时，上式为定值，即弦长为1221txx，t≥1．本题经动态试验，选择二图上传，可见无论x的取值范围如何，其结论都正确：对不同的t值，弦长不同；对同一t值，弦长一定；这一定值是相对于确定的t值而言，寓动于静．MN=2.82843厘米t1=2.00t=3.00y=14x2xy(0，t)y＝t－1OMN=2.82843厘米t1=2.00t=3.00Oy＝t－1(0，t)yxy=14x2NMQNMQPP本题第3问初次做感觉很难．MMBDCAxyOOyxACDBE