2014上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷

2014上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）1．给定正实数,()abab，两点2222(,0),(,0)abab到直线cossin1xyab的距离乘积是__．2．已知线段AB、CD的长分别为,(0)abab，若线段AB、CD分别在x轴、y轴上滑动，且使得A、B、C、D四点共圆，则这些圆的圆心轨迹方程是____．3．若(1,1)x时，2()2afxxax恒为正值，则实数a的取值范围是．4．数列{}nx定义如下：112,(1,2,3,)32(21)1nnnxxxnnx，则122014xxx=．5．不等式11222log(23)216xxxx的解集是．6．设122014,,,aaa是正整数1，2，…，2014的一个排列，记12,1,2,,2014kkSaaak，则122014,,,SSS中奇数个数的最大值是．7．设{1,2,,11}S，对S的每一个7元子集，将其中的7个数从小到大排列，取出中间数，则所有取出的中间数的和等于．8．将90000个五位数10000，10001，……，99999打印在卡片上，每张卡片上打印一个五位数，有些卡片上所打印的数，如19806倒过来看是90861，有两种不同的读法，会引起混淆，则不会引起混淆的卡片共有张．二、解答题9．（本题满分14分）在锐角三角形ABC中，已知75,,AACbABc，求三角形ABC的外接正三角形面积的最大值．10．（本题满分14分）设n是给定的大于2的整数．有n个外表上没有区别的袋子，第k个袋中有k个红球，(n-k)个白球，k=1,2,…,n．把这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球（每次取出不放回），求第三次取出的是白球的概率．11．（本题满分16分）正实数,,xyz满足：2541515min{,}zxyxzyz求123xyz的最大值．（这里，min{,}xy表示实数中的较小者．）12．（本题满分16分）求1,2,,n的排列12,,,naaa的个数，使得1||2knak对正整数1,2,,kn成立．解答参考：1.2b2.22224abxy3.02a4.402840295.(5,3)(1,3)6.15117.19808.880609.223(2)3bcbc10.12nn11.1312.n为奇数时，共有122n个；n为偶数，共有1个.