2015年安徽省数学竞赛初始试题及答案

智浪教育—普惠英才文库2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2015年7月4日上午9:00—11:30）题号一二总分9101112得分评卷人复核人注意：1．本试卷共12小题，满分150分；2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线；4．不得使用计算器．一、填空题（每题8分，共64分）1.函数Rxxxxfx，e31)(的最小值是．2.设24211111nxxxxnnn，，．数列}{nx的通项公式是nx．3.设平面向量,满足3|||,||,|1，则的取值范围是．4.设)(xf是定义域为R的具有周期2的奇函数，并且0)4()3(ff，则)(xf在]10,0[中至少有个零点．5.设a为实数，且关于x的方程1)sin)(cos(xaxa有实根，则a的取值范围是.6.给定定点)1,0(P，动点Q满足线段PQ的垂直平分线与抛物线2xy相切，则Q的轨迹方程是．7.设zxyi为复数，其中,xy是实数，i是虚数单位，其满足z的虚部和1ziz的实部均非负，则满足条件的复平面上的点集(,)xy所构成区域的面积是．8.设n是正整数．把男女乒乓球选手各n3人配成男双、女双、混双各n对，每位选手均不兼项，则配对方式总数是．二、解答题（第9题20分，第10━12题22分，共86分）9.设正实数ba,满足1ba．求证：31122bbaa．10.在如图所示的多面体ABCDEF中，已知CFBEAD,,都与平面ABC垂直．设cCFbBEaAD，，，1BCACAB．求四面体ABCE与BDEF公共部分的体积（用cba,,表示）．11.设平面四边形ABCD的四边长分别为4个连续的正整数。证明：四边形ABCD的面积的最大值不是整数。12.已知31位学生参加了某次考试，考试共有10道题，每位学生解出了至少6道题．求证：存在两位学生，他们解出的题目中至少有5道相同．试题解答一、填空题（每题8分，共64分）1.当3x时，,e42)(xxxf0e2)(xxf,因此)(xf单调减；当13x时，,e2)(xxf0e)(xxf，此时)(xf亦单调减；当1x时，xxxfe42)(，xxfe2)(.令0)(xf得.2lnx因此)(xf在2lnx处取得最小值6-2ln2．2.设xavxausincos，．方程有实根双曲线1uv与圆1)()(22avau有公共交点.注意到圆的圆心位于直线xy之上，只须找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可.易计算得，圆与双曲线切于A(1,1)点时，圆心坐标为2/21或2/21.圆与双曲线切于B(-1,-1)点时，圆心坐标为2/21或2/21.因此，a的取值范围为221,221221,221a．3.由4213111nnnxxx和421221211nnnxxx，可得2112312123121nnnnnxxxx．故222223232nnnnnx．4.217299121222．494122．以上等号均可取到．故的取值范围是49,217．5.由题设可知)()()(xfxfxf。令x=0得0)(f。另一方面，0.)4()4()42(fff类似地，03)-f(2因此，)(xf在]10,0[中的零点一定包含34,3,32,44,2,4,32,,3,420ππππππππ,这11个零点．6.设PQ的垂直平分线l与抛物线2xy相切于),(2tt，切向为)2,1(t.则l的方程为2)(2ttxty．设),(yxQ，由PQ与l垂直且PQ中点在l上，可得②①221)1(0)1(2ttxyytx．由①解得yxt22，代入②得Q的轨迹方程为0)1)(1(2)12(22yyxy，21,1y．7.0)1()1()1(i1i)1(Re1iRe22yxyyxxyxyxzz等价于21221221)()(yx.又由于0y，故满足条件的点集构成了圆的一部分，计算得其面积为823．8.从3n名男选手中选取2n人作为男双选手有23nnC种选法，把他们配成n对男双选手有(2)!2!nnn种配对方式。女选手类似。把n个男选手和n个女选手配成n对混双有n!种配对方式。因此，配对方式总数是nnnnnnnnnnCC2322232)!()!3(!2!．二、解答题（第9题20分，第10━12题每题22分，共86分）9.证明：对任意)1,0(a，由均值不等式有.414214aaaa----------------------------------（5分）因此，aaaaaaaaa2441441222．------------（15分）同理，对于任意)1,0(b，.212bbb因此，3221122babbaa．---------------------（20分）10.设HCEBFGBDAE，，则四面体BEGH是ABCE与BDEF的公共部分．-----------------------------------------------------（5分）易计算得：G到直线AB的距离baabd1，---------------------------------（10分）G到平面BCFE的距离add2312，------------------------------------------（15分）H到直线BC的距离cbbcd3，23dbSBEH．----------------（20分）因此，))((123332cbbabdSVBEHBEGH．---------------------（22分）11.不妨设ABCD是凸四边形，其面积为S．记DAdCDcBCbABa，，，。由DcddcBabbaACDcdBabScos2cos2，sin21sin2122222，可得DcdBabdcbaDcdBabScoscos2/)(，sinsin22222，--------------（8分）两遍平方和得．))()()((41)(41)()(41)cos(2)()(422222222222222dcbacdbabdcaadcbdcbacdabdcbaDBabcdcdabS等号成立当且仅当DB，即DCBA,,,四点共圆--------------------（16分）现根据假设dcba,,,为四个连续整数).1(3,2,1,nnnnn由此)3)(2)(1(nnnnS.显然.13322nnSnn因此，S不是整数。----------------------------------------------------（22分）12.证明：设S是所有试题的集合，iS是第i位学生解出的试题的集合，iiSST\．题目即证存在ji使得5jiSS．--------------------------------（5分）不妨设iTSii，，46．S共有120310C个三元子集，每个iT恰包含4个三元子集．因此，存在ji使得jiTT,包含相同的三元子集，3jiTT．---（15分）从而，52jijijijiTTSSSSSS．-----------------（22分）