2015年全国各地数学竞赛预赛卷-(1)

智浪教育---普惠英才文库2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2015年7月4日上午9:00—11:30）题号一二总分9101112得分评卷人复核人注意：1．本试卷共12小题，满分150分；2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线；4．不得使用计算器．一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分,请将答案填在答题卡的相应位置.1..函数()|1||3|,xfxxxexR的最小值是．2.设11111,,224nnnxxxnx,数列}{nx的通项公式是nx．3.设平面向量,满足1||,||,||3,则的取值范围是4.设)(xf是定义域为R且最小正周期2的奇函数,并且0)4()3(ff,则)(xf在]10,0[中至少有个零点．5.设a为实数,且关于x的方程1)sin)(cos(xaxa有实根,则实数a的取值范围是6.给定定点)1,0(P,动点Q满足线段PQ的垂直平分线与抛物线2xy相切,则动点Q的轨迹方程是7.设zxyi为复数,其中,xy是实数,i是虚数单位,其满足z的虚部和1ziz的实部均非负,则满足条件的复平面上的点集(,)xy所构成区域的面积是8.设n是正整数,把男女乒乓球选手各n3人配成男双、女双、混双各n对,每位选手均不兼项,则配对方式总数是．二、解答题:本大题共4小题,共86分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.9(本小题满分20分)设正实数ba,满足1ba,求证:31122bbaa．10(本小题满分22分)在如图所示的多面体ABCDEF中,已知CFBEAD,,都与平面ABC垂直,设cCFbBEaAD，，,1BCACAB．求四面体ABCE与BDEF公共部分的体积(用cba,,表示)．11(本小题满分22分)设平面四边形ABCD的四边长分别为4个连续的正整数.证明：四边形ABCD的面积的最大值不是整数。12(本小题满分22分)已知31位学生参加了某次考试，考试共有10道题，每位学生解出了至少6道题．求证：存在两位学生，他们解出的题目中至少有5道相同．试题解答一、填空题（每题8分，共64分）1.当3x时,()24e,xfxx()20xfxe,因此()fx单调减；当31x时，()2e,xfx()e0xfx,此时)(xf亦单调减；当1x时，()24xfxxe，()2xfxe.令()0fx得ln2,x因此)(xf在ln2x处取得最小值62ln22.设cos,sinuaxvax．方程有实根双曲线1uv与圆1)()(22avau有公共交点.注意到圆的圆心位于直线yx之上,只须找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可.易计算得，圆与双曲线切于A(1,1)点时，圆心坐标为212或212.圆与双曲线切于(1,1)B点时,圆心坐标为212或212.因此,实数a的取值范围为2222[1,1][1,1]2222．3.由4213111nnnxxx和421221211nnnxxx，可得2111133()212212nnnnnxxxx．故222223232nnnnnx．4.222119917(||||||)222．2219(||||)44．以上等号均可取到．故的取值范围是179[,]24．5.由题设可知()()()fxfxfx.令0x,得0)(f.另一方面，(24)(4)(4)0.fff类似地，(23)0f因此，)(xf在]10,0[中的零点一定包含34,3,32,44,2,4,32,,3,420ππππππππ,这11个零点．6.设PQ的垂直平分线l与抛物线2xy相切于),(2tt，切向为(1,2)t.则l的方程为2)(2ttxty．设),(yxQ,由PQ与l垂直且PQ中点在l上,可得22(1)01(1)2xtyytxt①②．由①解得yxt22，代入②得Q的轨迹方程为0)1)(1(2)12(22yyxy，1[1,]2y．7.22(1)(1)(1)Re()Re()011(1)zixyixxyyzxyixy等价于22111()()222xy又由于0y,故满足条件的点集构成了圆的一部分,计算得其面积为823．8.从3n名男选手中选取2n人作为男双选手有23nnC种选法,把他们配成n对男双选手有(2)!2!nnn种配对方式.女选手类似.把n个男选手和n个女选手配成n对混双有!n种配对方式.因此,配对方式总数是223232!(3)!()!2(!)2nnnnnnnnCCnn．二、解答题（第9题20分，第10━12题每题22分，共86分）9.证明:【方法一:】对任意(0,1)a,由均值不等式有114244.aaaa----------------------------------（5分）因此,aaaaaaaaa2441441222．------------（15分）同理,对于任意(0,1)b,212.bbb因此，3221122babbaa．---------------------（20分）也可以由22144102aaaaa推得【方法二:】8222233988111119928888aaaaaaaaa个个所以，41233132aaa，同理41233132bbb所以，411411223333331132()322abababab1111363332()32()32abab【方法三:】因为1124ababab所以22222222211111()2abababababababba332221()22abababababababab32221()3()()22abababababababababab221113122abababababab22121223abababab22111631223646432abababababab22311116312233911464643244ababab所以,22113abab【方法四:】先证221194abab,方法同方法三的后面,再用均值不等式10.设,AEBDGBFCEH,则四面体BEGH是ABCE与BDEF的公共部分．-----------------------------------------------------（5分）易计算得：G到直线AB的距离baabd1，---------------------------------（10分）G到平面BCFE的距离add2312，------------------------------------------（15分）H到直线BC的距离cbbcd3，23dbSBEH．----------------（20分）因此，323312()()BEHBEGHSdbVabbc．---------------------（22分）11.不妨设ABCD是凸四边形，其面积为S．记DAdCDcBCbABa，，，。由2222211sinsin222cos2cosSabBcdDACababBcdcdD，，可得2sinsinSabBcdD，22221()coscos2abcdabBcdD，--------------（8分）两遍平方和得2222222214()()2cos()()4SabcdabcdBDabcd2222221()()4abcdabcd1()()()()4bcdaacdbabdcabcd．等号成立当且仅当DB，即DCBA,,,四点共圆--------------------（16分）现根据假设dcba,,,为四个连续整数,1,2,3(1).nnnnn由此(1)(2)(3)Snnnn.显然22331.nnSnn因此，S不是整数----------------------------------------------------(22分)12.证明：设S是所有试题的集合,iS是第i位学生解出的试题的集合,iiSST\．题目即证存在ji使得5jiSS．--------------------------------（5分）不妨设iTSii，，46．S共有120310C个三元子集，每个iT恰包含4个三元子集．因此，存在ji使得jiTT,包含相同的三元子集，3jiTT．---（15分）从而，52jijijijiTTSSSSSS．-----------------（22分）