2015年全国各地数学竞赛预赛卷-(3)

2015年全国高中数学联赛河北省预赛一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分,请将答案填在答题卡的相应位置.1.已知函数22()ln(1)1(0)fxaxaxa,则1(ln)(ln)fafa2.设,AB两点分别在抛物线26yx和圆22:(2)1Cxy上,则||AB的取值范围是3.若tan3tan(0)2,则的最大值是4.已知ABC为等腰直角三角形,其中C为直角,1,ACBC过点B作平面ABC的垂线DB,使得1DB,在,DADC上分别取点,EF,则BEF周长的最小值为5.已知函数3()3fxxx,对任意的[2,2],(8)(2)0xmfmxf恒成立,则正实数x的取值范围是6.已知向量,,abc满足:*||:||:||2::3()abckkN,且()2()bacb,若为,ac的夹角,则cos的值为7.现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭正四面体容器,则该容器的棱长的最小值是8.将10个小球(5个黑球和5个白球)排成一行,从左边第一个小球开始向右数小球,无论数几个小球,黑球的个数总不少于白球个数的概率为二、本大题共6小题,共86分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.9(本小题满分14分)在ABC中,内角,,ABC所对的边分别是,,abc,向量(sinsin,sin)pACB,向量(,)qacba,且满足.pq(Ⅰ)求ABC的内角C;(Ⅱ)若2,2sin2sin(2)sin,cABCC求ABC的面积.10(本小题满分14分)已知数列{}na满足:2112,2nnnaaaa.(Ⅰ)求证:数列{lg(1)}na是等比数列,并求{}na的通项公式;(Ⅱ)若112nnnbaa,且数列{}nb的前n项和为nS.求证:1nS.11(本小题满分14分)已知函数()xfxeaxa.(Ⅰ)若()0fx对一切1x恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅱ)求证:1100822015().2016e12(本小题满分14分)如图,两个圆交于,AB两点,,CD为一条外公切线,切点分别为,CD,过A任意作一条直线分别交两圆于,,EFEC交FD于点P.求证:PB平分EBF.13(本小题满分15分)已知正实数,xy满足33,xyxy求使221xy恒成立的实数的最大值.14(本小题满分15分)已知椭圆22:12xCy及点1(1,)2P,过点P作直线l与椭圆C交于,AB两点,过,AB两点分别作C的切线交于Q点.(Ⅰ)求Q点的轨迹方程;(Ⅱ)求ABQ的面积的最小值.